1) Montrer que {(f+g)^p=f^p+g^p}.

2) Montrer que {f^p=\sum\limits_{n\ge0}a_nX^{np}}.

3) Montrer que {\Lambda_r(f^pg)=f\Lambda_r(g)}.

4) Si {\sum\limits_{i=0}^kQ_if^{p^i}=0} avec des {Q_i\in\mathbb{F}_p[X]} non tous nuls, montrer qu’il existe une telle relation avec {Q_0\ne0}.

1) Montrer que {S,T} engendrent {G}.

2) Si {\varphi:G\to\mathbb{C}^\star} est un morphisme, montrer que son image est contenue dans {\mathbb{U}_{12}}.

1) Montrer que, si {A} est fini sans diviseur de zéro, c’est un corps.

2) Pour {P\in A[X]\setminus\left\{0\right\}}, montrer que {P} est un diviseur de zéro si et seulement s’il existe {a\in A\setminus\left\{0\right\}} tel que {aP=0}.

1) {M} est-elle diagonalisable ?

2) Montrer que le groupe engendré par {M} est isomorphe à {\mathbb{Z}}.

3) Donner l’indice de nilpotence de {M-I}.

4) Expliciter {M^{-1}}.

Dans un groupe {G}, les éléments d’ordre fini forment-ils nécessairement un sous-groupe ?

a) Trouver deux groupes non isomorphes de cardinal {2023=7\cdot17^2}.

b) Pour {p} premier, montrer qu’un groupe de cardinal {p^2} est isomorphe à {\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}} ou {(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2}.

c) Pour un morphisme surjectif {\psi:G\to H} de groupes finis, montrer que {|G|=|H|\,|\ker\psi|}.

d) Si {|G|=2023} et {\varphi:G\to\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}} est surjectif, montrer que {G\simeq\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\times\ker\varphi}.

e) Montrer que tout groupe de cardinal {2023} est isomorphe à l’un des deux groupes de a).

a) Montrer que {x\varphi(x)\cdots\varphi^{n-1}(x)=1} pour tout {x}.

b) Si {n=2}, que dire de {G} ?

Donner un exemple.

c) Si {n=3}, montrer que {x} et {\varphi(x)} commutent pour tout {x}.

a) {T} est-il toujours un sous-groupe ?

b) Soit {S\subset G} fini, stable par conjugaison et totalement ordonné.

Montrer que tout produit {s_1\cdots s_r} peut s’écrire {s_1'\cdots s_r'} avec {s_i'\in S} et {s_1'\le\cdots\le s_r'}.

c) En déduire que, si {T} est fini, c’est un sous-groupe.

a) Soit {s:t\mapsto t^{-1}} sur {\mathbb{R}^\star}.

Déterminer le groupe engendré par {s}.

b) On définit {s_1(t,u)=(t^{-1},tu)} sur {(\mathbb{R}^\star)^2}.

Montrer que le sous-groupe qu’elles engendrent est isomorphe à {S_3}.

c) Retrouver ce résultat en considérant le quotient de {(\mathbb{R}^\star)^3} par colinéarité, la bijection {[x_1,x_2,x_3]\mapsto(x_1/x_2,x_2/x_3)} et les permutations échangeant les coordonnées {1,2} ou {2,3}.

d) Pour {n\ge3}, déterminer le groupe engendré sur {(\mathbb{R}^\star)^n} par les bijections {s_i(t_1,\ldots,t_n)=(t_1,\ldots,t_{i-2},t_{i-1}t_i, t_i^{-1},t_it_{i+1},t_{i+2},\ldots,t_n),\quad1\lt i\lt n,}{s_1(t)=(t_1^{-1},t_1t_2,t_3,\ldots,t_n),\quad s_n(t)=(t_1,\ldots,t_{n-2},t_{n-1}t_n,t_n^{-1}).}Indication : considérer {f(x_1,\ldots,x_{n+1})=(x_2/x_1,\ldots,x_{n+1}/x_n)} et chercher des {s_i'} simples tels que {s_i\circ f=f\circ s_i'}.

a) Montrer que {n=\sum\limits_{d\mid n}n_d(G)}.

b) Calculer ces nombres lorsque {G} est cyclique.

c) Si {|\left\{x\in G:x^d=1\right\}|\le d} pour tout {d\mid n}, montrer que {G} est cyclique.

d) En déduire qu’un sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps est cyclique.

a) Montrer que c’est un sous-corps de {\mathbb{C}}.

b) Déterminer ses éléments non nuls d’ordre multiplicatif fini.

a) Soient {K} un corps, {a,b\in K}, {P=X^2-aX-b} et une {K}-algèbre {A} de base {(1,x)} avec {x^2=ax+b}.

À quelle condition {A} est-elle un corps ?

b) Pour {K=\mathbb{F}_p}, combien de classes d’isomorphisme de telles {\mathbb{F}_p}-algèbres obtient-on ?

Soit {p} premier. Supposons qu’à toute {\mathbb{F}_p}-algèbre {A} on associe un endomorphisme {u_A} tel que, pour tout morphisme {\tau:A\to B}, {\tau\circ u_A=u_B\circ\tau}.

Que peut-on dire de ces endomorphismes ?

Soit {G} un groupe et {M} l’ensemble de ses morphismes vers {\mathbb{C}^\star}.

Montrer que {M} est une famille libre du {\mathbb{C}}-espace vectoriel {\mathbb{C}^G}.

Soit {\varphi\in\mathcal L(\mathcal M_n(\mathbb{C}))}, {n\ge2}, avec {\varphi(I)} inversible et {\varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B)}.

Montrer qu’il existe {P\in GL_n(\mathbb{C})} tel que {\varphi(A)=PAP^{-1}} pour tout {A}.

a) Caractériser les endomorphismes {\varphi} de {\mathbb{C}(X)} vérifiant {\varphi(F_1F_2)=\varphi(F_1)\varphi(F_2)}.

b) Déterminer les automorphismes vérifiant cette propriété.

Déterminer les endomorphismes continus du groupe {\mathbb{C}^\star}.

a) Trouver les fonctions monotones {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telles que {f(xy)=f(x)f(y)} pour tous {x,y}.

b) Trouver les fonctions monotones telles que, pour {x\ne y}, {f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}.}

Que dire d’une fonction continue {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} à la fois {1}-périodique et {\sqrt2}-périodique ?

1) En admettant la liberté sur {\mathbb{Q}} de {(\sqrt m)_{m\in F}}, montrer que {\Delta(n,k)\le\frac{k(\sqrt n-1)}{\binom{q(n)+k-1}{k}-1}.}

2) Démontrer cette liberté par récurrence sur le nombre de nombres premiers intervenant :

1) Pour un sous-corps {K} de {\mathbb{R}} et {x\in K}, {x>0}, montrer que {K[\sqrt x]=K+K\sqrt x} est un corps et possède un unique automorphisme non trivial fixant {K} lorsque {\sqrt x\notin K}.

2) Pour des premiers distincts {p_1,\ldots,p_n}, décrire une base de {K_n=\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\ldots,\sqrt{p_n})} et l’automorphisme changeant seulement le signe de {\sqrt{p_n}}.

3) Si {\sqrt{p_{n+1}}\in K_n}, l’écrire {\alpha+\beta\sqrt{p_n}}, puis montrer que {\alpha=0}.

4) En déduire {\sqrt{p_{n+1}}=\lambda\prod\limits_{i=1}^n\sqrt{p_i}} pour {\lambda\in\mathbb{Q}}, et obtenir une contradiction.

5) Conclure.

1) Soit {F} un corps fini dont le groupe multiplicatif est cyclique. Notons {\widehat{F^\star}} les caractères multiplicatifs complexes, prolongés par {0} en {0}, et {\widehat{F^\star}[n]=\left\{\chi:\chi^n=1\right\}}.

Montrer que le nombre de solutions de {X^n=u} vaut {1+\sum_{\chi\in\widehat{F^\star}[n],\ \chi\ne1}\chi(u).}

2) Pour {F=\mathbb{F}_p}, avec {p} impair et {p\equiv1\pmod3}, montrer que le nombre {N} de solutions de {X^3+Y^3=1} vaut {N=p+\sum_{\chi_1,\chi_2\in\widehat{F^\star}[3]\setminus\left\{1\right\}} J(\chi_1,\chi_2)=p-2+2\Re J(\omega,\omega),}où {\omega} est un caractère d’ordre {3} et {J(\chi_1,\chi_2)=\sum\limits_{a+b=1}\chi_1(a)\chi_2(b)}.

3) En admettant {|J(\omega,\omega)|=\sqrt p} et {pJ(\omega,\omega)=g_\omega^3}, avec {g_\omega=\sum\limits_x\omega(x)e^{2\pi ix/p}}, montrer que {N=p-2-a_p} avec {a_p^2+27b_p^2=4p}, {b_p\in\mathbb{Z}}.

1) Montrer qu’il possède un élément d’ordre {2}.

2) Montrer qu’il possède un sous-groupe d’ordre {n}. Considérer les permutations {\Phi(g):x\mapsto gx} de {G}.

3) Trouver un contre-exemple si {n} est pair.

1) Si {E(g_1,\ldots,g_k)=G}, montrer que {k\ge\lfloor\log_2n\rfloor}.

2) Pour {A\subset G}, montrer {\sum\limits_{x\in G}|A\cap Ax|=|A|^2}.

3) Montrer qu’il existe une telle famille avec {k\le\lfloor\log_2(2n\log n)\rfloor}.

1) Pour {z\notin\mathbb{R}}, montrer qu’un {\tau\in G} vérifie {\tau(z)\ne\pm z}.

2) Montrer qu’un sous-groupe {H} d’ordre {2^{n-1}} contient au moins deux applications {\mathbb{R}}-linéaires.

3) Montrer que {G} contient exactement deux applications {\mathbb{R}}-linéaires.

1) Montrer que {\dim V=1}.

2) Si {f(\theta)=\varphi(e^{i\theta})} est dérivable en {0}, déterminer {\varphi}.

a) montrer que le groupe alterné est maximal dans {\mathfrak S_n} ;

b) montrer que le stabilisateur d’un point {k} est maximal ;

c) montrer qu’un sous-groupe d’indice premier d’un groupe fini est maximal.

Soit {\varphi:\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}\to\mathbb{Z}} un morphisme de groupes, nul sur les suites presque nulles {\mathbb{Z}^{(\mathbb{N})}}.

Montrer que {\varphi=0}.

a) Montrer que {T(k)} est un sous-groupe de {\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})}.

b) Pour {0\le k\lt n}, construire un morphisme de {T(k)} vers un groupe abélien, de noyau {T(k+1)}.

c) Si {D(G)} est le sous-groupe engendré par les commutateurs {ghg^{-1}h^{-1}}, montrer que {T(0)} est résoluble, c’est-à-dire {D^q(T(0))=\left\{I_n\right\}} pour un {q}.

a) Pour {C\in H}, montrer que {\delta(A)=CA-AC} est une dérivation et calculer {e^\delta}.

b) Pour toute dérivation, montrer {e^\delta(AB)=e^\delta(A)e^\delta(B)}.

c) Retrouver b) en dérivant {t\mapsto e^{-t\delta}(e^{t\delta}(A)e^{t\delta}(B))}.

d) Pour les espaces caractéristiques {H_\lambda,H_\mu} de {\delta}, montrer {H_\lambda H_\mu\subset H_{\lambda+\mu}}.

a) Montrer que {\operatorname{tr}(f-I)=0} et {\operatorname{rg}(f-I)=1} équivalent à {f=I+\ell(\cdot)a}, avec {\ell(a)=0} ; on dit alors que {f} est une transvection.

Soit {\varphi} une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée, c’est-à-dire que, pour {x\ne0}, il existe {y} tel que {\varphi(x,y)\ne0}. Soit {G} le groupe des isomorphismes préservant {\varphi}.

b) Montrer que c’est un sous-groupe.

c) Montrer que {I+\lambda\varphi(a,\cdot)a\in G} pour {a\in E}, {\lambda\in\mathbb{R}}.

d) Montrer que ces transvections engendrent {G}.

** Sur {E=C^0([0,1],\mathbb{R})} muni de la norme uniforme, déterminer les formes linéaires continues {\varphi} telles que {\varphi(fg)=0} implique {\varphi(f)=0} ou {\varphi(g)=0}.