Pour {A\in M_2(\mathbb{R})}, décrire suivant {A} l’allure des solutions de {X'=AX}.

1) Déterminer {E_\pm=\left\{x:e^{tA}x\to0\text{ lorsque }t\to\pm\infty\right\}}.

2) Si {E_+=\mathbb{C}^n}, montrer {\lVert e^{tA}x\rVert\leq Ce^{-\delta t}\lVert x\rVert}.

3) Si {B:\mathbb{R}_+\to M_n(\mathbb{C})} est continue de limite nulle, montrer que les solutions de {x'=(A+B(t))x} tendent vers {0} sous cette hypothèse.

Soient {a_{ij}>0} et des fonctions {y_i} vérifiant {y_i'=\sum\limits_ja_{ij}y_j}, avec {y_i(t)\to0} lorsque {t\to\infty}.

Montrer que les fonctions {y_1,\ldots,y_n} sont liées.

a) Quelles dimensions pour {E_\lambda} ?

b) Caractériser la dimension {1} à l’aide de {y_\lambda}.

c) Montrer l’orthogonalité des {E_\lambda} pour des paramètres distincts.

d) Pourquoi le nombre {N_\lambda} de zéros de {y_\lambda} sur {[0,1]} est-il fini ?

e) Le calculer pour {r=0}, {\lambda>0}.

f) Étudier son comportement général.

a) Montrer que les zéros d’une solution non nulle sont isolés.

b) Si {a\in C^1}, transformer l’équation par {y=xe^z} en {y''+qy=0}.

c) Si {q_1\le q_2}, montrer qu’entre deux zéros consécutifs d’une solution de {y_1''+q_1y_1=0}, toute solution de {y_2''+q_2y_2=0} a un zéro dans l’intervalle fermé.

d) Si {0\lt m\le q\le M}, borner l’écart entre deux zéros consécutifs.

Pour {A\in M_3(\mathbb{R})}, décrire le comportement à {+\infty} des solutions de {X'=AX}.

a) Résoudre si {P(t)=\begin{pmatrix}1&\cos t\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}}.

b) Pour une matrice fondamentale {M(t)} et une période {T>0}, montrer qu’il existe {C} inversible avec {M(t+T)=M(t)C}.

c) Montrer qu’il existe {A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})} tel que {M(t)e^{-tA}} soit {T}-périodique.

Soient {A\in M_n(\mathbb{R})}, {B\in M_{n,1}(\mathbb{R})}, {x\in\mathbb{R}^n} et {E=C^0([0,1],\mathbb{R})}. Pour {u\in E}, soit {X_u} la solution de {X_u(0)=x}, {X_u'=AX_u+Bu}.

Montrer que {\left\{X_u(1):u\in E\right\}=\mathbb{R}^n} si et seulement si la matrice {(B\mid AB\mid\cdots\mid A^{n-1}B)} est de rang {n}.

a) Expliciter les suites {(a_n)_{n\ge0}} avec {na_{n+1}=(n+1)a_n} pour tout {n}.

b) Résoudre {x(x-1)y''+3xy'+y=0} sur {]-1,1[}.

Résoudre {x^2y''+xy'+(x^2-1/4)y=0} sur {]0,1[}.

Soient {a\lt b}, {\psi\in C^2([a,b],\mathbb{R}_+^\star)} croissante et {y\in C^2([a,b],\mathbb{R})} non nulle, solution de {y''+\psi y=0}.

Montrer que les points où {|y|} admet un extremum local sont en nombre fini et que leurs valeurs successives sont décroissantes.

a) Pour {f\in C^2(\mathbb{R},\mathbb{C})}, montrer que {f''+f'+f\to0} en {+\infty} entraîne {f\to0}.

b) Pour {P=a_0+a_1X+a_2X^2} unitaire, de degré un ou deux, à racines simples, on pose {\partial_Pf=\sum\limits_{k=0}^2a_kf^{(k)}}.

Caractériser les {P} tels que {\partial_Pf\to0} implique {f\to0} pour toute {f\in C^2}.

c) Donner une condition sur les réels {a,b,c} pour que {x'+ax+by+cz\to0}, {y'+bx+cy+az\to0}, {z'+cx+ay+bz\to0} impliquent {x,y,z\to0} pour toutes fonctions complexes {C^1}.

a) Décrire l’ensemble des solutions.

b) Si {A(t)=P^{-1}D(t)P} avec {P} inversible constant et {D} diagonale, donner une condition sur {D} pour que toutes les solutions aient une limite en {+\infty}.

a) Si {A(t)=PD(t)P^{-1}} avec {P} constant inversible et {D(t)} diagonale continue à coefficients au plus {-1}, toutes les solutions tendent-elles vers zéro ?

b) Même question si {A(t)=P(t)DP(t)^{-1}} avec {P(t)} continue inversible et {D} diagonale constante à coefficients au plus {-1}.

a) Soient {a,b:I\to\mathbb{R}} continues et {f} une solution non nulle de {y''+ay'+by=0} sur {I}.

Montrer que les zéros de {f} sont isolés : pour tout zéro {t_0}, il existe {\delta>0} tel que {f} n’ait pas de zéro dans {I\cap(]t_0-\delta,t_0+\delta[\setminus\left\{t_0\right\})}.

b) Soient {p_1,p_2:I\to\mathbb{R}} continues telles que {p_1\ge p_2}. Soient {f,g\in C^2(I,\mathbb{R})\setminus\left\{0\right\}} telles que {f''+p_1f=0} et {g''+p_2g=0}. Soient {t_1\lt t_2} deux zéros consécutifs de {f}.

Montrer qu’il existe un zéro de {g} dans {[t_1,t_2[}, ainsi que dans {]t_1,t_2]}.

c) Soient {p,q:[0,1]\to\mathbb{R}} continues, avec {q>0}. Pour {\lambda\in\mathbb{R}}, soit {f_\lambda} la solution de {y''+(p+\lambda q)y=0} telle que {f_\lambda(0)=0} et {f'_\lambda(0)=1}. Soit {N_\lambda} son nombre de zéros sur {[0,1]}.

Montrer que {\lambda\mapsto N_\lambda} est croissante et déterminer ses limites en {-\infty} et {+\infty}.

d) En admettant la continuité de {(x,\lambda)\mapsto f_\lambda(x)}, montrer que {\left\{\lambda\in\mathbb{R}:f_\lambda(1)=0\right\}} est l’ensemble des termes d’une suite réelle strictement croissante.

e) Montrer que {(\lambda,x)\mapsto f_\lambda(x)} est continue sur {\mathbb{R}\times[0,1]}.

a) Résoudre {(E_0)}.

b) Soient {x_0,x_1:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}} bornées et de classe {C^\infty}, et {\omega_1\in\mathbb{R}}.

On suppose qu’il existe des fonctions {\omega:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}} et {\varepsilon:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}}, cette dernière deux fois dérivable par rapport à la seconde variable, telles que :

i) {\omega(\mu)=1+\omega_1\mu+o(\mu)} lorsque {\mu\to0} ;

ii) il existe {C:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+} croissante telle que {\forall k\in\left\{0,1,2\right\},\quad\forall(\tau,\mu)\in\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}, \quad |(\partial_2)^k\varepsilon(\tau,\mu)|\le C(\tau)\mu^2 ;}iii) en posant {x(\tau,\mu)=x_0(\tau)+\mu x_1(\tau)+\varepsilon(\tau,\mu)}, la fonction {t\mapsto x(\omega(\mu)t,\mu)} est solution de {(E_\mu)} sur {\mathbb{R}_+} pour {\mu} voisin de {0}.

Calculer {\omega_1} et donner une expression explicite de {x_0,x_1} en fonction de quelques constantes inconnues.

Soient {A:\mathbb{R}\to M_n(\mathbb{C})} continue et {X:\mathbb{R}\to M_n(\mathbb{C})} de classe {C^1} telles que {X'(t)=A(t)X(t)-X(t)A(t)} pour tout {t}.

Montrer que {X(t)} est semblable à {X(0)} pour tout {t\in\mathbb{R}}.

a) Pour {(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2}, justifier l’existence et l’unicité d’une solution avec {x(0)=x_0}, {y(0)=y_0}. Pour cette solution, on pose {I(t)=y(t)^2} et {J(t)=\alpha^2x(t)^2}.

b) Montrer que {T^{-1}\int_0^TI(t)\,dt} et {T^{-1}\int_0^TJ(t)\,dt} ont une limite finie lorsque {T\to+\infty}.

c) Soit {N\ge1}. On considère {x_0,y_0} indépendantes à valeurs dans {N^{-1}\mathbb{Z}}, telles que, pour tout {k\in\mathbb{Z}}, {\mathbb{P}(x_0=k/N)=\mathbb{P}(y_0=k/N)=\gamma_Ne^{-(k/N)^2}.}i) Justifier l’existence de {\gamma_N\in\mathbb{R}_+} définissant ces lois.

ii) Pour {t} fixé, posons {f_N(t)=I(t)+J(t)} avec ces conditions initiales aléatoires.

Montrer que {\mathbb E(e^{-f_N(t)})} admet une limite lorsque {N\to+\infty}.

1) Si {f(x)=\sum\limits_{i=0}^kP_i(x)e^{z_ix}}, {P_i\in\mathbb{C}[X]}, montrer que {E} est de dimension finie.

2) Pour une famille libre de fonctions {(f_1,\ldots,f_n)}, montrer qu’il existe {x_1,\ldots,x_n} tels que {\det(f_i(x_j))\ne0}.

3) Supposons {\dim E=d\lt \infty}, avec une base {(\varphi_1,\ldots,\varphi_d)}. Écrivons {g_n(x)=n(f(x+1/n)-f(x))=\sum_{i=1}^d\alpha_{i,n}\varphi_i(x).}Montrer que {(\alpha_{1,n},\ldots,\alpha_{d,n})} converge, puis trouver une équation différentielle satisfaite par {f} et conclure.

1) Résoudre le système.

2) Tracer les ensembles images pour les conditions initiales {X(0)=a\binom1{-1}+b\binom2{-1},\qquad a,b\in\left\{-1,0,1\right\}.}

3) Montrer que les ensembles images des solutions forment une partition de {\mathbb{R}^2}.

1) Montrer que {y_1} est paire et {y_2} impaire.

2) Pour {W=\operatorname{Vect}(y_1,y_2)} et {A:y\mapsto(x\mapsto y(\pi+x))}, déterminer sa matrice dans cette base et son déterminant.

3) Calculer {A^{-1}} à l’aide de a).

4) Par Cayley-Hamilton, montrer que {y_1(\pi)=y_2'(\pi)}.

5) Si {T=\operatorname{tr}A}, montrer que {|T|\lt 2} implique que toutes les solutions sont bornées, et que {|T|=2} implique l’existence d’une solution non nulle bornée.

a) Soient {y_1,y_2\in C^1} sans zéro commun. Posons {\Phi=y_1+iy_2} et {\Phi(a)=r_0e^{i\theta_0}}.

Montrer que {\Phi=e^\Psi}, où {\Psi(x)=\int_a^x\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)}dt+\ln r_0+i\theta_0.}b) Montrer que {y_1=r\cos\theta}, {y_2=r\sin\theta}, avec {r=\sqrt{y_1^2+y_2^2},\qquad \theta(x)=\theta_0+\int_a^x\frac{y_1y_2'-y_2y_1'}{y_1^2+y_2^2}dt.}c) Montrer que {f(x)=\int_a^x\sqrt{q(t)}dt} est une bijection {[a,\infty[\to\mathbb{R}_+}.

d) Pour une solution {y} non identiquement nulle, poser {Y=y\circ f^{-1}}.

Montrer que {Y''+vY'+Y=0}, où {v(t)=q'(f^{-1}(t))/(2q(f^{-1}(t))^{3/2})}.

e) Montrer que {Y,Y'} n’ont pas de zéro commun et peuvent s’écrire {Y=r\cos\theta}, {Y'=r\sin\theta}, avec {r,\theta} de classe {C^1}.

f) Montrer que {(r^2)'=-2vr^2\sin^2\theta}.

En déduire que {y} et {y'} sont bornées.

a)

i) Montrer qu’une solution de l’équation homogène est constante sur chaque droite {x=x_0+ct}.

En déduire l’unique solution {u(x,t)=u_0(x-ct)}.

ii) Pour l’équation avec second membre, montrer que {u(x,t)=u_0(x_0)+\int_0^tf(x_0+c\theta,\theta)d\theta}.

iii) En déduire {u(x,t)=u_0(x-ct)+\int_0^tf(x-c(t-\theta),\theta)d\theta}. On considère maintenant l’équation des ondes {\partial_t^2u-c^2\partial_x^2u=0}, avec {u(x,0)=g(x)}, {\partial_tu(x,0)=h(x)}.

b)

i) Pour {u\in C^2}, montrer que {(\partial_t+c\partial_x)(\partial_tu-c\partial_xu) =\partial_t^2u-c^2\partial_x^2u.}ii) En déduire que {u(x,t)=u_1(x+ct)+u_2(x-ct)}.

iii) Poser {v=\partial_tu+c\partial_xu}.

Préciser son équation de transport et sa condition initiale.

iv) Exprimer {u} en fonction de {v}, puis déduire {u(x,t)=\tfrac12(g(x-ct)+g(x+ct)) +\frac1{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}h(\tau)d\tau.}c)

i) Trouver les solutions {C^2} à variables séparées {u(x,t)=\varphi(t)\psi(x)}.

ii) Pour {g(x)=\sum\limits_{k=1}^na_k\sin(k\pi x)} et {h=0}, déterminer {u}.

a) Montrer que {b_n} compte aussi les relations d’équivalence sur cet ensemble. Une relation {\sim} est une relation d’équivalence si elle est réflexive ({x\sim x}), symétrique ({x\sim y\Rightarrow y\sim x}) et transitive ({x\sim y}, {y\sim z\Rightarrow x\sim z}).

b) Calculer {b_0,b_1,b_2}.

c) Montrer que {b_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^n\binom nkb_k}.

d) Montrer que {B} est dérivable sur un intervalle ouvert non vide, en déduire une équation différentielle et la résoudre.

e) Montrer que {b_n=e^{-1}\sum\limits_{k\ge0}k^n/k!}.

Soient {g\in C^0([0,1],\mathbb{R})} et {F\in C^1([0,1],\mathbb{R})} telles que {F(0)=1} et {|F'(x)|=F(x)g(x)}.

Déterminer les valeurs possibles de {F(1)}.

Soit {f\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} et {(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4} tels que {af'+bf} et {cf'+df} soient bornées.

À quelle condition sur {(a,b,c,d)} cela impose-t-il que {f} soit bornée ?

Soit {g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} de classe {C^1} telle que {g(t)\to0} en {+\infty}, et soit {f} telle que {f'-f=g}. On pose {a=f(0)}.

Montrer qu’il existe une unique valeur de {a} pour laquelle {f(t)\to0} en {+\infty}.

Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continue. On suppose que {f(x)+\int_0^xf(t)\,dt\to\ell} en {+\infty}.

Montrer que {f} possède une limite et la déterminer.

Soit {(a,b)\in\mathbb{R}^2}.

Trouver toutes les fonctions {f\in C^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})} bornées et telles que {f=a\,\partial f/\partial x+b\,\partial f/\partial y}.

a) Résoudre {x''-x=\cos(2t)}.

b) Soit {f} continue sur {\mathbb{R}}, nulle lorsque {|t|\ge c} pour un {c>0}.

Montrer qu’il existe une unique solution de {x''-x=f} tendant vers zéro aux deux infinis.

Un mobile suit {x'(t)=\varepsilon x(t)} sur chaque intervalle {]n,n+1[}, avec {\varepsilon>0}, des limites finies {x(n^-),x(n^+)}, et {x(0)=0}. À chaque entier {n\in[0,T]}, une pièce équilibrée impose {x(n^+)=x(n^-)+n} ou {x(n^+)=x(n^-)-n}, avec {x(0^-)=0}.

Montrer que, pour {\varepsilon} assez grand, {x} reste de signe constant sur {[0,T]}, pour tout {T\in\mathbb{N}}.