1) Pour un triangle {ABC}, construire sur ses côtés des triangles isocèles en leurs sommets {D,E,F}, d’angle au sommet {2\pi/3}.

Montrer que {DEF} est équilatéral.

2) Pour {n\ge3} et {1\le k\le n-2}, soit {T_k} l’application qui remplace un polygone {(A_i)} par les sommets {B_i} tels que {A_iA_{i+1}B_i} soit isocèle en {B_i}, d’angle {2k\pi/n}.

Montrer que la composition de tous les {T_k} donne un polygone régulier indépendamment de l’ordre.

Soit {\gamma:[0,1]\to\left\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\right\}} continue.

Montrer qu’il existe {\theta:[0,1]\to\mathbb{R}} continue avec {\gamma(t)=e^{2i\pi\theta(t)}}.

1) Montrer que, pour tout point {(x,y)\ne(-1,0)} du cercle unité, il existe {t\in\mathbb{R}} tel que {x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad y=\frac{2t}{1+t^2}.}

2) Montrer que {x} et {y} sont rationnels si et seulement si {t} est rationnel.

Soit {f(x)=\ln(1+x^2)-\arctan x} pour {x\in\mathbb{R}}.

Pour {n\in\mathbb{N}^\star}, trouver les zéros réels de {f^{(n)}}.

Pour {a\lt b} réels, montrer qu’il existe {n,m\in\mathbb{N}} avec {\sqrt n-\sqrt m\in]a,b[}.

Soit {0\lt a\lt 1} et {z\ne1} de module {1}.

Montrer {|az+1-a|\lt 1}.

Montrer {\cos(\sin x)>\sin(\cos x)} pour tout réel {x}.

Soit {\alpha} irrationnel. Les fonctions {\cos x+\cos(\alpha x)} et {\sin x+\sin(\alpha x)} sont-elles périodiques ?

Plus généralement, si {f} est continue {T}-périodique et atteint son maximum en un unique point de {[0,T[}, {f(x)+f(\alpha x)} est-elle périodique ?

Soit {C=0,1234567891011121314\ldots}, obtenu en concaténant les écritures décimales des entiers naturels.

Montrer que {C} est irrationnel.

Soit {a\in\mathbb{R}}.

Si {(n\left\{an!\right\})} converge, où {\left\{x\right\}=x-\lfloor x\rfloor}, montrer que {a\in\mathbb{Q}+e\mathbb{N}}.

Soient {n\ge2} et {a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{R}}.

Montrer qu’il existe {i\in\left\{0,\ldots,n\right\}} tel que {\left|\sum_{k=0}^ia_k-\sum_{k=i+1}^na_k\right| \le\max_{0\le k\le n}|a_k|.}

Pour {n\ge1}, calculer le module de {G_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\exp(2i\pi k^2/n)}.