1) Montrer que {f} n’est pas surjective.

2) Montrer qu’une de ses fibres est infinie.

3) Montrer qu’il existe un ensemble dense {E} sur lequel les fibres sont finies et de cardinal constant.

1) Donner {\dim S_n(\mathbb{R})}.

2) Montrer que {S_n^+} est un convexe fermé et préciser son intérieur dans {S_n}.

3) Déterminer l’unique matrice positive la plus proche d’une matrice symétrique {A}.

Pour {f(x)=2x-1/x} sur {\mathbb{R}^\star}, posons {K=\bigcap_{n\geq0}f^{-n}([-1,1])}.

Montrer que {K} est compact, d’intérieur vide, sans point isolé, et {f(K)=K}.

Soient {E} euclidien et {A\subset E} bornée non vide.

Montrer qu’il existe une unique boule fermée de rayon minimal contenant {A}.

Sur un intervalle ouvert {I}, soient {f,g:I\to\mathbb{R}} dont les ensembles de points de continuité sont denses.

Montrer qu’elles ont un point de continuité commun.

Soit {(O_i)_{i\in I}} un recouvrement ouvert de {[a,b]}.

Noter {X} l’ensemble des {x\in[a,b]} tels que {[a,x]} admette un sous-recouvrement fini.

Montrer que {X=[a,b]}.

Peut-on écrire {(0,1)} comme réunion dénombrable disjointe de segments d’intérieurs non vides ?

Pour {x\in[0,1)} de développement décimal propre {0,x_1x_2\cdots}, poser {S_n(x)=\sum\limits_{i=1}^nx_i}.

Si {0\lt a\lt 9}, montrer que {P=\left\{x:S_n(x)\le na\text{ pour tout }n\ge1\right\}} est compact, non vide, d’intérieur vide et sans point isolé.

a) Construire dans le disque unité une suite de carrés à côtés parallèles aux axes, d’intérieurs disjoints, dont les aires totalisent {\pi}.

b) Construire dans {[-1,1]^2} une suite de disques fermés d’intérieurs disjoints dont les aires totalisent {4}.

a) Déterminer les composantes connexes par arcs de {\mathcal A=\left\{(P,x):P\in\mathcal P,\ P(x)=0,\ P'(x)\ne0\right\}}.

b) Même question pour {\mathcal B=\left\{P\in\mathcal P:P\text{ n'a aucune racine réelle multiple}\right\}}.

a) Établir la formule de {\sin x-\sin y}.

b) Montrer que {u_{n+1}-u_n\to0}.

c) Montrer que {V} est un intervalle, puis {V=[-1,1]}.

a) Montrer que {A_\varepsilon} est vide, un singleton ou un intervalle ouvert.

b) Si {A_\varepsilon\ne\varnothing}, montrer que {B_\varepsilon=\overline{A_\varepsilon}} ; sinon montrer que {B_\varepsilon} est vide ou un singleton.

a) Montrer que {I\cap S=C([0,1],[0,1])}.

b) Poser {f_n(x)=\inf(\left\{1\right\}\cup\left\{f(y)+n|x-y|:y\in[0,1]\right\})}.

Montrer que {f_n} est continue, que {(f_n)} croît, et qu’elle converge ponctuellement vers {f} si et seulement si {f\in I}.

Soit {f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m} de classe {C^1}.

Si {df_x} est injective, montrer que {f} est injective sur un voisinage de {x}.

a) Remplir le disque unité, à aire nulle près, par une suite de carrés à côtés parallèles aux axes et d’intérieurs disjoints.

b) Remplir de même {[-1,1]^2} par une suite de disques fermés d’intérieurs disjoints.

Montrer que {SO_3(\mathbb{Q})} est dense dans {SO_3(\mathbb{R})}.

1) Montrer que {\varphi} est une norme si et seulement si {C} est convexe.

2) Soit {K} convexe, compacte, d’intérieur non vide et symétrique par rapport à l’origine.

Montrer que {K} est un voisinage de l’origine.

3) Pour {x\ne0}, posons {I(x)=\left\{\lambda>0:\exists k\in K,\ x=\lambda k\right\}}.

Montrer que {I(x)} est convexe, fermé et non vide.

1) Soient {E} normé et {K\subset E} compact, convexe et non vide. Soit {(f_i)_{i\in\mathbb{N}}} une suite d’applications affines continues, commutant deux à deux et vérifiant {f_i(K)\subset K}.

Montrer qu’elles ont un point fixe commun.

2) Le résultat reste-t-il vrai pour une famille indexée par un ensemble non dénombrable ?

Soient {\gamma,\tau>0} et, pour {N\ge1}, {D_N=\left\{x\in\mathbb{R}^d:\forall k\in\mathbb{Z}^d\setminus\left\{0\right\}, \ \lVert k\rVert\le N\Longrightarrow |\langle x,k\rangle| \ge\frac\gamma{\lVert k\rVert^\tau}\right\},\qquad D=\bigcap_{N\ge1}D_N.}Montrer que {D} est fermé et d’intérieur vide.

Qu’en est-il de {D_N} ?

1) Montrer que {f} est continue et surjective.

2) Que peut-on dire de l’image d’un ouvert ? D’un fermé ?

3) Pour un chemin continu {\gamma:[0,1]\to F}, montrer qu’il existe un chemin continu {c:[0,1]\to E} tel que {f\circ c=\gamma}.

1) Soient {X\subset\mathbb{R}^n} fermé non vide et {f:X\to X} une application {\theta}-lipschitzienne, {0\le\theta\lt 1}.

Montrer qu’elle a un unique point fixe {c} et que {f^m(x)\to c} pour tout {x}.

2) Soient {X\subset\mathbb{R}^n} compact non vide et {f:X\to X} telle que {x\ne y} implique {\lVert f(x)-f(y)\rVert\lt \lVert x-y\rVert}.

Si {Y,Z} sont des compacts non vides de {X} stables par {f}, montrer que {Y\cap Z\ne\varnothing}.

En déduire que {f} a un unique point fixe.

1) Montrer que les deux extrema peuvent être pris sur {\lVert x-y\rVert=r}.

2) Pour {x} fixé, montrer que les deux fonctions de {r} sont croissantes.

On dit que {f} est quasi-conforme s’il existe {K_f>0} tel que {L_f(x,r)\le K_f\ell_f(x,r)} pour tous {x,r}.

3) Montrer qu’alors {L_f(x,2r)\le(1+K_f)L_f(x,r)}.

4) Montrer que {f} est quasi-conforme si et seulement si {f^{-1}} l’est.

1) Montrer la stabilité par similitude.

2) Montrer que deux éléments sont semblables si et seulement si ils ont mêmes rang et trace.

3) Étudier la connexité par arcs de {\mathcal I_n} et de {\mathcal I_n^\star=\left\{A:\exists\lambda\in\operatorname{Sp}(A),\ \operatorname{Im}A=E_\lambda(A)\right\}}.

4) Déterminer les classes de similitude incluses dans {\mathcal I_2}.

Déterminer les valeurs d’adhérence des suites {(\cos n)} et {((\cos n)^n)}.

1) {S_-} peut-il être fini non vide ?

2) Si, pour tout {\varepsilon>0}, {S_-} est recouvert par des intervalles ouverts de somme des longueurs au plus {\varepsilon}, montrer que {f} est croissante, donc {S_-=\varnothing}.

1) Si {u_t+F(u_x,u_{xx})\le0\le v_t+F(v_x,v_{xx})}, montrer que {\sup_{\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}}(u-v) =\sup_{\left\{0\right\}\times\mathbb{R}}(u-v)}.

2) Si {u_t+F(u_x,u_{xx})=0}, montrer que {u} est uniformément continue sur {\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}}.

1) Montrer que {GL_n(\mathbb{R})} est ouvert.

2) Calculer {d(A,GL_n(\mathbb{R}))} pour toute {A}.

3) Pour {S=M_n(\mathbb{R})\setminus GL_n(\mathbb{R})} et {A} inversible, montrer qu’il existe {M_0\in S} avec {d(A,S)=\lVert A-M_0\rVert}.

4) Rappeler le résultat sur les extrema sous contrainte et en déduire une propriété de {M_0}.

a) Montrer que {A\in E} si et seulement s’il existe une colonne {U} avec {A=UU^T}. Soit {a:\mathbb{R}_+\to E} continue.

b) Montrer l’équivalence entre : (?) il existe {u} continue avec {a(t)=u(t)u(t)^T} ; (?) il existe {z} continue avec {z(t)^Ta(t)z(t)>0}.

c) Pour {0\le b\le c}, si {a_{ii}(t),a_{jj}(t)>0} sur {[b,c]}, {i\ne j}, construire {z} continue avec la positivité de (?), {z(b)=e_i}, {z(c)=\pm e_j}.

d) En prolongeant des fonctions {z} sur des intervalles {[0,d]} avec {z(d)=\pm e_j}, montrer (?).

Soit {(O_n)_{n\ge0}} une suite d’ouverts non majorés de {\mathbb{R}_+^\star}.

Montrer qu’il existe {x>0} tel que {O_n\cap\mathbb{N}x} soit infini pour tout {n}.

Soit {E\ne\varnothing} et {d:E^2\to\mathbb{R}} symétrique, nulle exactement sur la diagonale, avec {d(x,y)\le\max(d(x,z),d(z,y))}. On note {B(x,r)=\left\{y:d(x,y)\le r\right\}}. Supposons {B(x,r)\subsetneq B(x,r')} pour tous {x} et {0\lt r\lt r'}, et supposons qu’une suite d’éléments de {E} soit dense.

Construire {z_n\in E} et {r_n>0} tels que {B(z_{n+1},r_{n+1})\subset B(z_n,r_n)} et que l’intersection de ces boules soit vide.

a) La forme {\varphi(f)=f(0)} est-elle continue pour {\lVert \cdot\rVert_\infty} et pour {\lVert \cdot\rVert_1} ?

Déterminer dans chaque cas l’adhérence de son noyau.

b) Pour {\varphi(f)=\int_0^1f(x)\cos(2\pi x)\,dx}, montrer la continuité pour {\lVert \cdot\rVert_1} et calculer sa norme subordonnée.

Soient {E} préhilbertien de dimension infinie et {K\subset E} bornée, de frontière compacte.

Montrer que {K} est d’intérieur vide.

Peut-on généraliser à tout espace vectoriel normé de dimension infinie ?

Pour {x,y\in\mathbb{R}}, {\varepsilon>0}, on écrit {x\approx_\varepsilon y} s’il existe {k\in\mathbb{Z}} tel que {|x-y-k|\lt \varepsilon}. Pour {\lambda_1,\lambda_2\ne0}, montrer que {\lambda_1/\lambda_2} est irrationnel si et seulement si, pour tous {(a_1,a_2)\in[0,1[^2} et {\varepsilon>0}, il existe {x\in\mathbb{R}} avec {x\lambda_1\approx_\varepsilon a_1} et {x\lambda_2\approx_\varepsilon a_2}.

Soient {E} normé de dimension finie {n\ge2} et {C\subset E} non vide, convexe et bornée.

Montrer que sa frontière est connexe par arcs.

a) Montrer que toute {\gamma\in\Gamma} s’écrit {\gamma(t)=e^{2i\pi\theta(t)}} avec {\theta} réelle continue.

b) Deux lacets sont homotopes si une fonction continue {h:[0,1]^2\to S} les relie et si chaque {h(x,\cdot)} appartient à {\Gamma}.

Montrer que le lacet constant {1} et {t\mapsto e^{2i\pi t}} ne le sont pas.

c) Existe-t-il une application continue du disque fermé unité dans {S} égale à l’identité sur {S} ?

Une partie {E\subset[0,1]} est dite négligeable si, pour tout {\varepsilon>0}, elle peut être recouverte par une suite d’intervalles dont la somme des longueurs est au plus {\varepsilon}. Soit {f:[0,1]\to\mathbb{R}} dérivable. Supposons {f'(x)\ge0} hors d’une partie négligeable {E}.

Montrer que {f} est croissante.

Soient {d\in\mathbb{N}^\star} et {f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}} de classe {C^1}. On suppose que {f(x)\to+\infty} lorsque {\lVert x\rVert\to+\infty}, que {\nabla f} est lipschitzienne et que les points critiques de {f} sont isolés.

Montrer qu’il existe {\tau>0} tel que, pour tout {a\in\mathbb{R}^d}, la suite {x_0=a}, {x_{n+1}=x_n-\tau\nabla f(x_n)} converge. On commencera par {d=1} et {f(x)=x^2/2}.

a) Montrer que {L} est un sous-espace vectoriel. Indication : considérer {(e^{tA/k}e^{tB/k})^k}.

b) Montrer que {AB-BA\in L} pour {A,B\in L}.

c) Que peut-on dire de {L} lorsque {G=\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})} ?

1) Montrer que {F} est fermé.

2) Déterminer {F^\perp} et {(F^\perp)^\perp}.

3) Toute fonction de {E} se décompose-t-elle en une somme d’un élément de {F} et d’un élément de {F^\perp} ? On appelle projeté orthogonal de {f} sur {F} un {g\in F} tel que {f-g\in F^\perp}.

4) Les fonctions {x\mapsto x-1/2} et {x\mapsto1} ont-elles un tel projeté ?

5) Donner une condition nécessaire et suffisante d’existence du projeté.

1) Montrer que {T} est fermé et que son intérieur est ouvert.

2) Montrer que {f(x,y)=x^2+y^2-\frac12(1-x-y)^2} possède un minimum sur {T} et le calculer.

1) Montrer que {B_d} est convexe, fermé et borné.

Est-ce un sous-espace vectoriel ?

2) Montrer que {P_d\subset B_d} et que {P_d} est fermé.

3) On admet que {B_d} est l’enveloppe convexe de {P_d}, chaque élément utilisant au plus {(d-1)^2+1} permutations.

Montrer que toute forme linéaire atteint son minimum sur {B_d} en un élément de {P_d}.

4) Montrer {\lVert QMP\rVert=\lVert M\rVert} pour {P,Q} orthogonales.

Pour {A,B} symétriques, de diagonalisations orthogonales {D_A,D_B}, trouver {P} orthogonale telle que {\lVert A-B\rVert=\lVert D_AP-PD_B\rVert}.

Montrer que {R=(p_{ij}^2)} est bistochastique et que {\lVert A-B\rVert^2=\sum_{i,j}r_{ij}|\lambda_i(A)-\lambda_j(B)|^2.}

a) Pour {\lambda\in\mathbb{C}}, la suite {(\lambda^k)_{k\ge0}} peut-elle être dense dans {\mathbb{C}} ?

b) Soit {A=\begin{pmatrix}2&3\\[4pt]0&1/2\end{pmatrix}}.

i) Pour {X\in\mathbb{C}^2}, la suite {(A^kX)} peut-elle être dense dans {\mathbb{C}^2} ?

ii) Même question pour {A\in M_m(\mathbb{C})} et {X\in\mathbb{C}^m}.

c) Soit {A\in M_m(\mathbb{R})} sans valeur propre réelle.

i) Montrer qu’il existe {P\in\mathrm{GL}_m(\mathbb{R})}, {a>0}, {\theta\in\mathbb{R}} tels que {P^{-1}AP=\begin{pmatrix}a\cos\theta&-a\sin\theta&*\\[4pt]a\sin\theta&a\cos\theta&*\\[4pt]0&0&*\end{pmatrix},}avec les blocs de tailles appropriées.

ii) Pour {A\in M_m(\mathbb{R})} et {X\in\mathbb{R}^m}, l’orbite {(A^kX)} peut-elle être dense dans {\mathbb{R}^m} ?

1) Montrer que la boule unité fermée est recouverte par un nombre fini de boules fermées {B(y_k,1/2)}.

2) Montrer que {\operatorname{Vect}(y_1,\ldots,y_n)} est dense dans {E}, puis que {E} est de dimension finie.

1) {\mathbb{R}^2} ;

2) {\mathbb{R}^2\setminus\left\{0\right\}} ;

3) {\mathbb{R}^2\setminus\left\{x:\lVert x\rVert=1\right\}} ;

4) {\mathbb{R}^2\setminus\bigcup_{i\in\mathbb{Z}^2}B^o(i,\varepsilon)}, avec {\varepsilon>0}.