Suites et séries de fonctions — ENS

Exercices corrigés des ENS sur le thème « suites et séries de fonctions », regroupés par filière.

MP–MPI

Exercice 1. (★★★★) Séries, familles sommables ; Convergence normale ; Sommation par paquets

Sur

{\ell^1(\mathbb{Z})}

, poser

{(a*b)_n=\sum\limits_k a_kb_{n-k}}

{\lVert a\rVert=\sum\limits|a_n|}

Question 1) Montrer que la convolution est bien définie et

{\lVert a*b\rVert\leq\lVert a\rVert\lVert b\rVert}

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Question 2) Montrer son associativité, sa commutativité et donner son neutre.

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Question 3) Pour

{z\in\mathbb{U}}

, poser

{f_a(z)=\sum\limits a_nz^n}

; montrer qu’elle est continue sur le disque fermé

{D}

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Question 4) Si

{a}

est inversible, montrer que

{f_a}

ne s’annule pas sur

{D}

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Question 5) Si

{a}

a un support fini et

{f_a}

ne s’annule pas sur

{\mathbb{U}}

, montrer que

{a}

est inversible.

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Exercice 2. (★★★★) Convergence uniforme ; Théorème de Weierstrass ; Adhérence

Déterminer les limites uniformes sur

{[-1,0]}

de polynômes à coefficients positifs.

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Exercice 3. (★★★★) Convergence normale ; Continuité de la somme ; Sommes de Riemann

Pour

{x\notin\mathbb{Z}}

, poser

{g_N(x)=\sum\limits_{n=-N}^N1/(x+n)}

Montrer la convergence simple, la continuité de la limite ${g}$ , son imparité, sa périodicité de période ${1}$ , l’identité ${g(x)=\frac12(g(x/2)+g((x+1)/2))}$ , puis ${g(x)=\pi\cot(\pi x)}$ .

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Exercice 4. (★★★★★) Formes linéaires continues ; Théorème de Weierstrass ; Équivalents

Soient

{\lambda_j\geq0}

tels que

{\sum\limits_{j\geq0}e^{-\lambda_jt}\sim Bt^{-a}}

lorsque

{t\downarrow0}

, avec

{B,a>0}

. Soit

{E}

l’espace des fonctions continues par morceaux avec

{N(f)=\sup_{x\geq0}|e^xf(x)|\lt \infty}

, et

{F=\operatorname{Vect}(e^{-kx})_{k\geq1}}

Poser ${L_t(f)=t^a\sum\limits_jf(t\lambda_j)}$ et ${L_0(f)=\frac B{\Gamma(a)}\int_0^\infty f(x)x^{a-1}\,dx}$ .

Question 1) Montrer que

{L_t}

est linéaire continue.

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Question 2) Montrer les mêmes propriétés pour

{L_0}

et la convergence

{L_t(f)\to L_0(f)}

sur

{\overline F}

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Question 3) En déduire

{N_x:=\#\left\{j\geq1:\lambda_j\leq x\right\}\sim Bx^a/(a\Gamma(a))}

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Exercice 5. (★★★★) Convergence normale ; Intégration terme à terme ; Continuité de la somme

Soient

{0\lt a\lt 1}

{b>1}

{ab>1}

{f(x)=\sum\limits_{n\geq1}a^n\cos(b^n\pi x)}

{\alpha=-\ln a/\ln b}

Question 1) Montrer que

{f}

est définie, bornée et continue.

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Question 2) Réécrire la série à l’aide de

{b^{-n\alpha}}

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Question 3) Montrer que

{f}

est

{\alpha}

-höldérienne.

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Question 4) Calculer

{\int_{x-h}^{x+h}f(t)\cos(b^n\pi t)\,dt}

pour

{h=2b^{-n}}

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Exercice 6. (★★★) Convergence uniforme ; Intégration sur un intervalle quelconque ; Topologie des espaces vectoriels normés

Soit

{(f_n)}

une suite de fonctions continues par morceaux de

{[a,b[}

dans

{\mathbb{R}^d}

, convergeant uniformément sur tout compact vers

{f}

, et telle que

{\lVert f_n(t)\rVert\leq g(t)}

pour une fonction positive intégrable

{g}

Question 1) Montrer la convergence des intégrales et

{\int_a^bf_n\to\int_a^bf}

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Question 2) Pour

{n\geq1}

, poser

{f_n(t)=(1-t^2/n)^n\mathbf1_{[0,\sqrt n]}(t)}

Trouver la limite sur les compacts et montrer la convergence des intégrales sur ${\mathbb{R}_+}$ .

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Question 3) Calculer exactement ces intégrales et retrouver la limite par Stirling.

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Question 4) Prouver la convergence uniforme à l’aide du théorème de Dini, en démontrant ce théorème.

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Exercice 7. (★★★★★) Approximation uniforme ; Moyennes de suites ; Sommes géométriques

Une suite

{(x_n)}

est équirépartie modulo

{1}

si, pour tout

{k\in\mathbb{Z}^\star}

{N^{-1}\sum\limits_{n=1}^Ne^{2\pi ikx_n}\to0}

Question a) Montrer que

{(n\alpha)}

l’est pour

{\alpha}

irrationnel.

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Question b) Si chaque suite

{(x_{n+h}-x_n)}

{h\ge1}

, l’est, montrer que

{(x_n)}

l’est. On utilisera, pour

{|a_n|\le1}

{\left|\frac1N\sum_{n=1}^Na_n\right|\le \left|\frac1H\sum_{h=0}^{H-1}\frac1N\sum_{n=1}^Na_{n+h}\right| +\frac{2H}{N},}

puis majorera le premier terme par

{\left(N^{-1}\sum\limits_{n=1}^N|H^{-1}\sum\limits_{h=0}^{H-1}a_{n+h}|^2\right)^{1/2}}

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Question c) Traiter

{x_n=P(n)}

{P}

est non constant à coefficient dominant irrationnel.

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Question d) Pour

{f}

continue

{1}

-périodique, montrer que

{N^{-1}\sum\limits_{n=1}^Nf(x_n)\to\int_0^1f}

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Question e) En déduire que la distance de

{P(\mathbb{Z})}

{\mathbb{Z}}

est nulle.

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Exercice 8. (★★) Convergence uniforme ; Suites extraites ; Interpolation

Soient

{N>d}

{x_1,\ldots,x_N}

distincts. Une suite de polynômes

{P_n}

de degré au plus

{d}

a des valeurs bornées en chaque

{x_j}

Montrer qu’une sous-suite converge uniformément sur ${[0,1]}$ vers un polynôme de degré au plus ${d}$ .

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Exercice 9. (★★) Convergence uniforme ; Convergence simple ; Norme uniforme

Montrer la convergence uniforme sur

{[0,\pi/2]}

{f_n(x)=\sin^n x\cos x}

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Exercice 10. (★★★★) Groupe symétrique, déterminants ; Théorème de Weierstrass ; Matrices de Gram

Soit

{(\lambda_n)_{n\ge0}}

une suite réelle strictement croissante, avec

{\lambda_0=0}

, et

{k\in\mathbb{R}\setminus\left\{\lambda_n:n\in\mathbb{N}\right\}}

Question 1) Calculer

{I_{n,k}=\inf_{(a_0,\ldots,a_n)\in\mathbb{R}^{n+1}} \int_0^1\left(t^k-\sum_{i=0}^na_it^{\lambda_i}\right)^2dt.}

On admet la formule de Cauchy : le déterminant de la matrice

{(1/(1+x_i+y_j))_{1\le i,j\le q}}

vaut

{\frac{\prod_{i\lt j}(x_j-x_i)(y_j-y_i)}{\prod_{i,j}(1+x_i+y_j)}.}

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Question 2) En déduire une condition suffisante pour que

{F=\operatorname{Vect}(t\mapsto t^{\lambda_n})_{n\ge0}}

soit dense dans

{C^0([0,1],\mathbb{R})}

pour la norme

{\lVert f\rVert_2=(\int_0^1f^2)^{1/2}}

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Exercice 11. (★★★★) Théorème de Weierstrass ; Convergence uniforme ; Espaces vectoriels et applications linéaires

Soit

{E=C^0([0,1],\mathbb{R})}

. Un endomorphisme

{u}

est positif s’il envoie les fonctions positives ou nulles sur des fonctions positives ou nulles. Posons

{e_i(x)=x^i}

Question 1) Montrer que

{|u(f)|\le u(|f|)}

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Question 2) Montrer que, pour tout

{\varepsilon>0}

, il existe

{\delta>0}

tel que

{|f(x)-f(y)|\le\varepsilon+2\lVert f\rVert_\infty(x-y)^2/\delta^2}

pour tous

{x,y}

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Question 3) Si des endomorphismes positifs

{T_n}

vérifient

{T_n(e_i)\to e_i}

uniformément pour

{i=0,1,2}

, montrer que

{T_n(f)\to f}

uniformément pour tout

{f\in E}

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Question 4) Démontrer le théorème de Weierstrass.

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Exercice 12. (★★★★) Convergence normale ; Dérivation terme à terme ; Majorations factorielles

Soit

{s\ge1}

. Une fonction

{f\in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})}

est dite

{s}

-Gevrey s’il existe

{R,C>0}

tels que

{|f^{(k)}(x)|\le CR^k(k!)^s}

pour tous

{k,x}

Question 1) Montrer que

{f(x)=\sum\limits_{n\ge0}e^{-n+in^sx}}

est bien définie et

{s}

-Gevrey.

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Question 2) Montrer que

{f(x)=\mathbf1_{\mathbb{R}_+}(x)e^{-1/x}}

, prolongée par

{0}

{0}

, est

{C^\infty}

{2}

-Gevrey.

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Exercice 13. (★★★★★) Distance à un sous-espace ; Théorème de Weierstrass ; Déterminants de Gram

Soit

{E=C^0([0,1],\mathbb{R})}

muni de

{\lVert \cdot\rVert_2}

et de

{\lVert \cdot\rVert_\infty}

. Pour une suite strictement croissante d’entiers naturels

{(n_k)}

, soit

{F=\operatorname{Vect}(x\mapsto x^{n_k})}

Donner les conditions de densité pour chacune des deux normes.

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Exercice 14. (★★★★★) Convergence simple ; Moyennes de Cesàro ; Inégalités différentielles

Soient

{f_n:[0,1]\to]0,1]}

convergeant simplement vers

{f}

Question a) Pour

{n\ge2}

, montrer que

{t_n=(\ln n)^{-1}\sum\limits_{i=1}^nf_i/i}

converge simplement vers

{f}

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Question b) Supposons

{f_0>0}

, et pour

{n\ge1}

{f_n}

dérivable croissante avec

{f_n'\ge nf_n/\sigma_n}

, où

{\sigma_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f_i}

. Si

{\sup_n\sigma_n(1/2)\lt +\infty}

, montrer que pour chaque

{x\lt 1/2}

{f_n(x)\le e^{-C_xn}}

pour

{n}

assez grand, avec

{C_x>0}

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Question c) Sans l’hypothèse de bornitude des

{\sigma_n(1/2)}

, montrer qu’il existe

{x_0\in[0,1]}

tel que : pour

{x\lt x_0}

, la même borne exponentielle vaut ; pour

{x>x_0}

{f(x)\ge x-x_0}

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Exercice 15. (★★★★) Convergence normale ; Comparaison ; Limites supérieures et inférieures

Soit

{f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac1n\sin(x/4^n)}

Question a) Montrer que

{\lim_{x\to+\infty}\inf_{t\ge x}f(t)=0}

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Question b) Montrer

{0\lt \lim_{x\to+\infty}\sup_{t\ge x}|f(t)|/\ln(\ln t)\lt +\infty}

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Exercice 16. (★★★★) Convergence normale ; Séries géométriques ; Domination

Soit

{(\lambda_n)}

strictement positive avec

{2\lambda_n\le\lambda_{n+1}\le3\lambda_n}

Montrer que pour tout ${\alpha>0}$ il existe ${c_1,c_2>0}$ tels que, pour ${1/2\le t\lt 1}$ , ${\frac{c_1}{(1-t)^\alpha}\le\sum_{n=0}^{+\infty}\lambda_n^\alpha t^{\lambda_n}\le\frac{c_2}{(1-t)^\alpha}.}$

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PSI

Exercice 1. (★★★★) Convergence uniforme ; convergence normale ; dérivation terme à terme

Soient

{E=C^0([0,1],\mathbb{C})}

{F=D^1([0,1],\mathbb{C})}

. On définit

{T}

par

{Tf(x)=\tfrac12\left(f(x/2)+f((x+1)/2)\right),}

et l’on note

{E_\lambda=\ker(T-\lambda I)}

i) Montrer que ${T}$ est un endomorphisme.

ii) Exprimer ${T^nf}$ à l’aide d’une somme.

iii) Montrer que ${(T^nf)}$ converge simplement vers une fonction ${\ell}$ .

i) Montrer que ${E_1}$ est l’ensemble des fonctions constantes.

ii) Montrer que ${E_\lambda=\left\{0\right\}}$ si ${|\lambda|\ge1}$ et ${\lambda\ne1}$ .

c) Soit ${|\lambda|\lt 1}$ .

i) Montrer que ${f_\lambda(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\lambda^k\cos(2^k\pi x)}$ est définie et continue sur ${[0,1]}$ .

ii) Montrer que ${f_\lambda\in E_\lambda}$ .

d) On note ${D_\lambda=E_\lambda\cap F}$ .

i) Montrer que, si ${|\lambda|\lt 1/2}$ , ${D_\lambda\ne\left\{0\right\}}$ .

ii) Comparer ${T(f')}$ et ${(Tf)'}$ pour ${f\in F}$ .

iii) Montrer que, si ${|\lambda|\ge1/2}$ et ${\lambda\ne1/2}$ , ${D_\lambda=\left\{0\right\}}$ .

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Exercice 2. (★★) Convergence normale ; dérivabilité de la somme ; dérivation terme à terme

Soit

{(u_n)_{n\ge0}}

définie sur

{\mathbb{R}}

par

{u_0=0}

{u_n(x)=\frac{x}{n(1+nx^2)}\quad(n\ge1).}

a) Étudier la convergence de

{\sum\limits u_n}

b) Sur quel domaine a-t-on ${(\sum\limits u_n)'=\sum\limits u_n'}$ ?

c) La somme est-elle dérivable en ${0}$ ?

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Exercice 3. (★★★) Convergence uniforme ; suites récurrentes

1) Pour

{0\lt a\lt b\lt 1}

{I=[a,b]}

{\varphi(x)=2x(1-x)}

, poser

{\varphi_0=\varphi}

{\varphi_{n+1}=\varphi\circ\varphi_n}

Étudier la convergence sur ${I}$ .

2) Pour tout polynôme réel ${P}$ sur ${I}$ , construire des polynômes à coefficients entiers convergeant uniformément vers ${P}$ .

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Exercice 4. (★★) convergence uniforme ; Intégration sur un intervalle quelconque ; Convergence simple

Soit

{f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}}

continue, strictement décroissante et intégrable. Pour

{n\ge1}

, posons

{f_n(x)=f(x^n)}

a) Montrer que

{f>0}

{f(x)\to0}

{+\infty}

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b) Pour

{0\le a\lt 1}

, étudier la convergence uniforme sur

{[0,a]}

, puis sur

{[0,1[}

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c) Pour

{b>1}

, mêmes questions sur

{[b,+\infty[}

{]1,+\infty[}

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d) Pour

{a\ge0}

, étudier la convergence de

{u_n=\int_a^\infty f_n(t)\,dt}

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Exercice 5. (★★★★) convergence uniforme ; théorème des valeurs intermédiaires ; Convergence simple

Soient

{a\lt b}

{I=[a,b]}

{f:I\to I}

continue.

On suppose qu’il existe ${\omega\in I}$ tel que ${f^n(x)\to\omega}$ pour tout ${x\in I}$ .

a) Montrer que

{\omega}

est l’unique point fixe de

{f^k}

pour tout

{k\ge1}

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b) Montrer que

{f(I)\ne I}

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c) Montrer que

{\bigcap_{n\ge1}f^n(I)=\left\{\omega\right\}}

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d) Montrer que

{f^n\to\omega}

uniformément.

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PC

Exercice 1. (★★) Séries à termes positifs ; Limite d'une somme ; Convergence normale

Soit

{(a_n)_{n\ge0}}

réelle telle que

{\sum\limits_ne^{a_n}}

converge.

Déterminer ${\lim_{k\to\infty}\sum\limits_{n=0}^\infty e^{ka_n}}$ .

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Exercice 2. (★★) Convergence uniforme ; Interpolation affine ; Applications lipschitziennes

Sur

{[-1,1]}

, poser

{G_\beta(x)=\max(x-\beta,0)}

{E=\operatorname{Vect}_{\beta\in\mathbb{R}}(G_\beta)+\mathbb{R}\mathbf1}

. Soit

{f}

lipschitzienne.

Montrer que, pour tout ${\varepsilon>0}$ , il existe ${g\in E}$ tel que ${\lVert f-g\rVert_\infty\lt \varepsilon}$ .

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Exercice 3. (★) Continuité de la limite ; Convergence simple

Soient

{f_n:[0,1]\to\mathbb{R}_+}

continues et

{f(x)=\inf_{n\in\mathbb{N}}f_n(x)}

. La fonction

{f}

est-elle nécessairement continue ?

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Exercice 4. (★★★★) Convergence simple ; Convergence uniforme ; Inégalité de Taylor-Lagrange

Soient

{k\ge1}

{f\in C^0([0,1],\mathbb{R})}

{f_n\in C^k([0,1],\mathbb{R})}

. On suppose

{f_n\to f}

simplement et

{\lVert f_n^{(k)}\rVert_\infty\le C}

pour tout

{n}

Montrer que la convergence est uniforme.

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Exercice 5. (★★★) Convergence simple ; Convergence normale ; Convergence uniforme

Soit

{\alpha>0}

. Étudier la convergence simple, normale et uniforme sur

{\mathbb{R}}

{\sum\limits_{n\ge1}\sin(nx)/n^\alpha}

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Exercice 6. (★★) convergence uniforme ; dimension ; fermés

Soit

{(P_n)}

une suite de polynômes réels telle que

{\sup_{x\in[-1,1]}|P_n(x)-e^x|\to0}

Montrer que ${\deg P_n\to+\infty}$ .

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Exercice 7. (★★★) convergence uniforme ; convergence simple ; positivité et majorations

Soit

{(f_n)}

définie sur

{[0,+\infty[}

par

{f_0=1}

{f_n(0)=1}

{f'_{n+1}(x)=e^x\sqrt{f_n(x)}}

Justifier l’existence de ${\lim_{n\to\infty}f_n(x)}$ et déterminer sa valeur.

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Exercice 8. (★★★★) convergence normale ; continuité de la limite

Soient

{a>0}

{f\in C^0([0,\infty[,\mathbb{R})}

telle que

{|f(x)-1|\lt 1/(1+x^2)}

pour tout

{x\ge0}

Montrer qu’il existe ${g\in C^0([0,\infty[,\mathbb{R})}$ telle que ${f(x)=g(x)g(x+a)}$ .

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