1) Montrer que {E} est convexe.

2) Si {f} est extrémale, poser {F_f=\left\{t:|f(t)|=1\right\}} et {m_t=k} si la première dérivée non nulle en {t} est d’ordre {k\leq n-1}, et {m_t=n-1} si toutes ces dérivées sont nulles.

Montrer {\sum\limits_{t\in[0,1]}m_t\geq n}.

3) Montrer que toute extrémale vérifie {|f^{(n)}|=1} partout où cette dérivée est définie.

1) Montrer que {f} possède un unique point critique, minimum global.

2) Montrer {D} inversible.

3) Pour {w_k=D^{-1}(b-Ax_k)}, donner le signe de {\langle\nabla f(x_k),w_k\rangle}.

4) Si {w_k\ne0}, déterminer l’unique minimiseur {\beta_k} de {t\mapsto f(x_k+tw_k)}.

5) Montrer la convergence de {x_{k+1}=x_k+\beta_kw_k}, si aucun {x_k} n’est critique.

Soit {f\in C^\infty(\mathbb{R}^n)} telle que {\Delta f\geq0}.

Montrer que son maximum sur la boule unité fermée est atteint sur la sphère unité.

1) Pour {\lambda,\varepsilon>0}, montrer que {g(x)=f(x)+(\varepsilon/\lambda)\lVert x-x_0\rVert} atteint son minimum.

2) Si {f} est différentiable, montrer qu’il existe {y_\varepsilon} tel que {f(y_\varepsilon)\leq\inf f+\varepsilon} et {\lVert \nabla f(y_\varepsilon)\rVert\leq\sqrt\varepsilon}.

Soit {V(x)=\det(x_i^{j-1})_{1\leq i,j\leq n}}, {B} la boule unité euclidienne, {S} sa sphère et {H=\left\{\sum\limits x_i=0\right\}}.

Montrer que {V} atteint son maximum sur {B} en un point de {S\cap H}.

Si {S\subset\mathbb{R}^d} contient au moins {d+2} points, montrer qu’il existe deux parties disjointes {A,B\subset S} dont les enveloppes convexes se rencontrent.

Soit un polyèdre borné {P=\left\{x\in\mathbb{R}^n:\langle x,y_i\rangle\leq\alpha_i,\ 1\leq i\leq m\right\}}. Un sommet est un point {x\in P} qui n’est le milieu de deux points distincts de {P}.

Montrer que {P} possède un nombre fini de sommets.

Soient {K} compact convexe non vide d’un espace normé et {f} un endomorphisme continu tel que {f(K)\subset K}.

Montrer que {f} possède un point fixe dans {K}.

Pour {p>1}, montrer qu’il existe {k_p>0} tel que {(x-y)^2\le k_p(4-(x+y)^2)}dès que {|x|^p+|y|^p=2}.

Pour {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}, poser {f^\star(s)=\sup_x(sx-f(x))} et {f^{**}(x)=\sup_s(sx-f^\star(s))}.

Montrer que {f^{**}} est le supremum des fonctions affines minorant {f}.

a) Pour {x_0,\ldots,x_n\in I}, montrer qu’il existe {\tau\in I} tel que {\det\big(1,x_i,\ldots,x_i^{n-1},f(x_i)\big)_{0\le i\le n} =\frac{f^{(n)}(\tau)}{n!}\prod_{i\lt j}(x_j-x_i).}

b) Si {n=2}, {I} est un segment et {f} strictement convexe, montrer que le graphe contient au plus {CN^{2/3}} points de {N^{-1}\mathbb{Z}^2}.

a) Si {f} est strictement convexe, montrer que {a_1>0}.

b) Montrer de même {a_n>0} pour tout {n\ge1}.

c) Si {f\in C^2} et {a_1>0} sur tout sous-segment, montrer que {f} est strictement convexe.

Calculer {\sup_{a,b,c>1}\left[(1-1/a)^b+(1-1/(2b))^c+(1-1/(3c))^a\right].}

Calculer {\sup_{a,b,c\ge1}(1-1/a)^b(1-1/(2b))^c(1-1/(3c))^a.}

Pour {q\ge0}, déterminer le minimum de {x^q+y^q} sur {x,y\ge0}, {x+y=1}.

Pour {A} symétrique définie positive et {b\in\mathbb{R}^n}, déterminer les extrema de {f(x)=\frac12\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle}.

Pour {p>1}, montrer qu’il existe {K_p} tel que {(x-y)^2\le K_p(4-(x+y)^2)} lorsque {|x|^p+|y|^p=2}.

1) Quels ensembles {Y\subset E} peuvent s’écrire {Y=\Pi_X(x)} ?

2) Si {x\notin X} et {d(x,X)=0}, montrer que {\Pi_X(x)=\varnothing}.

3) Peut-on avoir {x\notin X}, {d(x,X)>0} et {\Pi_X(x)=\varnothing} ?

4) En dimension finie, pour une norme euclidienne et {X} convexe, fermé et borné, montrer que {\Pi_X(x)} est un singleton.

Soient {E} réel de dimension finie {n\ge2} et {C\subset E} convexe ouvert ne contenant pas {0}.

Montrer qu’il existe une droite vectorielle ne rencontrant pas {C}.

1) Si {x'=\pi(x+u)}, montrer que, pour tout {z\in\Delta}, {2\langle u,z-x\rangle\le\lVert z-x\rVert^2-\lVert z-x'\rVert^2+\lVert u\rVert^2.}

2) Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, {x_1,y_1\in\Delta} et {\gamma_k>0}, on définit {x_{k+1}=\pi(x_k+\gamma_kAy_k)}, {y_{k+1}=\pi(y_k-\gamma_kA^tx_k)}.

Montrer qu’on peut choisir {(\gamma_k)} de sorte que {\max_{x\in\Delta}\sum_{k=1}^N\langle x,Ay_k\rangle -\min_{y\in\Delta}\sum_{k=1}^N\langle x_k,Ay\rangle\le o(N).}

3) En déduire {\max_x\min_y\langle x,Ay\rangle=\min_y\max_x\langle x,Ay\rangle} sur {\Delta}.

Soient {E} un espace vectoriel réel, {C\subset E} convexe non vide, {a\lt b}, et {\mathcal F} l’ensemble des fonctions convexes {f:C\to[a,b]}.

Pour {x,y\in C}, déterminer {\sup_{f\in\mathcal F}(f(y)-f(x))} et les cas où cette borne est atteinte.

1) Montrer que {\operatorname{dom}f^\star} est convexe et que {f^\star} y est convexe.

2) Pour {g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} convexe dérivable, posons {E=\left\{(y,a):xy-a\le g(x)\text{ pour tout }x\right\}}.

Montrer que {g(x)=\sup_{(y,a)\in E}(xy-a)}, puis que {(g^\star)^\star=g}. Étendre au cas où {g} n’est pas dérivable.

1) Montrer que {\Gamma(n+1/2)=(2n)!\Gamma(1/2)/(2^{2n}n!)}.

2) Montrer la log-convexité : {\Gamma((1-\lambda)x+\lambda y)\le\Gamma(x)^{1-\lambda}\Gamma(y)^\lambda}.

3) En déduire {\Gamma(n+1/2)^2\le\Gamma(n)\Gamma(n+1)} pour {n\ge1}, et {\Gamma(n+1)^2\le\Gamma(n+1/2)\Gamma(n+3/2)} pour {n\ge0}.

4) Montrer que {\Gamma(1/2)=\sqrt\pi}.

5) Montrer que {\Gamma_n(x)=\int_0^nt^{x-1}(1-t/n)^ndt} converge simplement vers {\Gamma(x)} sur {]0,\infty[}.

Soient {a>0}, {n\ge1} et {x_1,\ldots,x_n>0}.

Calculer {\inf\left\{\sum\limits_{i=1}^nx_i/y_i^a:y_i>0,\ \sum\limits_iy_i\le1\right\}}.

1) Donner un exemple de tels vecteurs.

2) Montrer que {g} atteint son minimum.

3) Si {f} est intégrable en {-\infty}, montrer qu’il existe {x} tel que {\sum\limits_if(\langle v_i,x\rangle)v_i=0}.

1) Déterminer l’unique {f_0:\mathbb{N}\to\mathbb{R}} minimisant {\mathbb E(g(X)-N)^2}.

2) Posons {R(g,n)=\mathbb E(g(X_n)-n)^2}.

Si {R(f_0,n)} est constante égale à {R_0}, montrer que {R_0=\min_g\sup_nR(g,n)} et que {f_0} est l’unique minimiseur.

a) Montrer que {f} admet un extremum global.

b) Montrer que {f(x)} possède une limite lorsque {\lVert x\rVert\to+\infty}.

a) Montrer que le domaine où {f^\star} est finie est un intervalle, et que {f^\star} y est convexe.

b) Si {f} est dérivable et convexe sur {\mathbb{R}}, montrer {f^{**}=f}.

c) Si {f\in C^2(\mathbb{R})}, {f''>0} et {f(x)/|x|\to+\infty} à l’infini, montrer que {f^\star} est dérivable sur {\mathbb{R}} et {y=f'(x)} équivaut à {x=(f^\star)'(y)}.

Soient {a,b,c,d\in\mathbb{R}_+^\star}.

Quelle est l’aire maximale d’un quadrilatère dont les côtés successifs ont pour longueurs {a,b,c,d} ?

a) Quelle est l’aire maximale possible pour un rectangle de périmètre {1} ?

b) Soient {n\ge3} et {0\le\theta_1\lt \cdots\lt \theta_n\le2\pi}.

Déterminer le périmètre maximal du polygone de sommets {e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n}}, dans cet ordre.

c) Soient {z_1,\ldots,z_n\in\mathbb{C}}, avec {z_0=z_n}. On définit l’aire algébrique de ce polygone par {\frac12\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(\operatorname{Re}(z_k)\operatorname{Im}(z_{k+1})- \operatorname{Im}(z_k)\operatorname{Re}(z_{k+1})\bigr).}Pour {p>0} fixé, déterminer les listes {(z_1,\ldots,z_n)} de périmètre {p} qui maximisent cette aire algébrique.

a) Soient {C} ouvert convexe non vide et {f:C\to\mathbb{R}} différentiable, avec {\nabla f} {L}-lipschitzien. Pour {w,v\in C}, poser {g(t)=f(v+t(w-v))}.

i) Exprimer {g'(t)}.

ii) Montrer que {f(w)-f(v)=\int_0^1\langle\nabla f(v+t(w-v)),w-v\rangle dt}.

iii) Montrer que {f(w)\le f(v)+\langle\nabla f(v),w-v\rangle+(L/2)\lVert w-v\rVert}.

b) Pour {f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}} différentiable, montrer que {f} est convexe si et seulement si {f(w)\ge f(v)+\langle\nabla f(v),w-v\rangle} pour tous {w,v}. Indication : commencer par {d=1}.

c) Soit {f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}} différentiable. On pose {v_0=0} et {v_{n+1}=v_n-\frac1{2L}\lVert \nabla f(v_n)\rVert^2}.

Montrer que {f(v_{n+1})\le f(v_n)-\frac1{2L}\lVert \nabla f(v_n)\rVert^2}.

d) On suppose de plus {f} convexe.

i) Montrer que {f(v_{n+1})\le f(w)+\langle\nabla f(v_n),v_n-w\rangle -\frac1{2L}\lVert \nabla f(v_n)\rVert^2}.

ii) Montrer que {f(v_n)-f(w)\le\frac L2(\lVert v_n-w\rVert^2-\lVert v_{n+1}-w\rVert^2)}.

iii) Montrer que {f(v_n)-f(w)\le\frac L{2n}\lVert w\rVert^2}.

d) Soit {v^\star} un point critique de {f}.

Montrer que {v^\star} est un minimum local et que {(v_n)} converge vers {v^\star}.

a) Rappeler la définition d’un espace euclidien.

b) Donner un exemple satisfaisant cette propriété.

c) Donner un exemple ne la satisfaisant pas.

d) Montrer que {|\alpha_i|\le|\beta_i|} pour {i=1,2} implique {\lVert \alpha_1e_1+\alpha_2e_2\rVert\le\lVert \beta_1e_1+\beta_2e_2\rVert}. Pour cela, fixer {\lambda\in\mathbb{R}} et poser {f(\mu)=\lVert \mu e_1+\lambda e_2\rVert}.

i) Montrer {f((\mu+\mu')/2)\le(f(\mu)+f(\mu'))/2}.

ii) En déduire la convexité de {f}.

iii) Montrer que {f} croît sur {\mathbb{R}_+}.

iv) Conclure.

a) Pour {\lambda_i\in[0,1]}, {\sum\limits_i\lambda_i=1}, et {f:I\to\mathbb{R}} convexe :

i) montrer {f(\sum\limits_i\lambda_ix_i)\le\sum\limits_i\lambda_if(x_i)} ;

ii) montrer que l’inégalité est stricte si {f\in C^2}, {f''>0}, les poids sont dans {]0,1[} et les {x_i} sont distincts.

b) Pour deux probabilités {P_1,P_2} sur un ensemble fini {\Omega}, posons {\mathrm{TV}=\sup_{A\subset\Omega}|P_1(A)-P_2(A)|,\qquad N_1=\sum_{\omega\in\Omega}|P_1(\left\{\omega\right\})-P_2(\left\{\omega\right\})|.}i) Montrer {\mathrm{TV}=N_1/2}.

ii) Montrer {\mathrm{TV}=\sum\limits_\omega\max(P_1(\left\{\omega\right\}),P_2(\left\{\omega\right\}))-1}.

iii) Montrer {1-\mathrm{TV}^2\ge(\sum\limits_\omega\sqrt{P_1(\left\{\omega\right\})P_2(\left\{\omega\right\})})^2}.

c) Supposons {P_2(\left\{\omega\right\})=0\Rightarrow P_1(\left\{\omega\right\})=0} et posons {D(P_1,P_2)=\sum_\omega P_1(\left\{\omega\right\})\ln\frac{P_1(\left\{\omega\right\})}{P_2(\left\{\omega\right\})},}les termes de masse {P_1} nulle valant zéro.

i) Montrer {D\ge0}.

ii) Montrer {(\sum\limits_\omega\sqrt{P_1(\left\{\omega\right\})P_2(\left\{\omega\right\})})^2\ge e^{-D}}.

iii) Conclure.

1) Une médiane est un réel {\mu} tel que {\mathbb{P}(X\ge\mu)\ge1/2} et {\mathbb{P}(X\le\mu)\ge1/2}.

Montrer son existence et discuter son unicité.

2) Quels réels {t} minimisent {\mathbb E((X-t)^2)} ?

3) Quels réels {t} minimisent {\mathbb E(|X-t|)} ?

Montrer qu’un polygone convexe à {n} sommets inscrit dans le cercle unité est d’aire maximale si et seulement s’il est régulier.

Déterminer les fonctions {f} de classe {C^1} sur {[-1,1]} telles que, pour tous {x,y\in[-1,1]}, {f(x)-f(y)\ge f(x)^2(x-y).}