1) Si {\sum\limits_{k\in A}1/k} converge, montrer que {A} a une densité nulle.

2) Même conclusion si les éléments de {A} sont deux à deux premiers entre eux.

Pour {A\subset\mathbb{N}^\star}, posons {f(n)=\frac1n\sum_{k=1}^n\mathbf1_{k\in A},\qquad g(n)=\frac1{\ln n}\sum_{k=1}^n\frac{\mathbf1_{k\in A}}k,\quad n\ge2.}Comparer, pour {\ell\ge0}, les assertions {f(n)\to\ell} et {g(n)\to\ell}.

1) Que signifie cette propriété pour {\alpha=0} et pour {\alpha>1} ?

2) Si {0\le\alpha\le\beta}, montrer que {(H_\beta)} implique {(H_\alpha)}.

3) Pour {\alpha,\beta>0}, {f} vérifiant {(H_\alpha)} et {g} vérifiant {(H_\beta)}, montrer la convergence de {I_n=\sum_{k=0}^{2^n-1}f(k/2^n) \bigl(g((k+1)/2^n)-g(k/2^n)\bigr).}

Soient {P=\sum\limits_{k=0}^da_kX^k} et {Q=\sum\limits_{k=0}^db_kX^k} réels, de même degré {d\ge1}, tels que {a_{d-1}/a_d\ne b_{d-1}/b_d}.

Si {u_n>0} et {u_{n+1}/u_n=P(n)/Q(n)} pour {n} assez grand, montrer qu’il existe {a>0}, {b,c} réels tels que {u_n\sim an^bc^n}.

1) Pour {n>0}, montrer qu’il existe {x_n,y_n\in(0,1)} tels que {n!\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k!}=\frac1{n+x_n},\qquad n!\sum_{k=n+1}^\infty\frac{(-1)^k}{k!} =\frac{(-1)^{n+1}}{n+1+y_n}.}

2) Montrer qu’il n’existe pas de relation {a+be+ce^2=0} avec {(a,b,c)\in\mathbb{Z}^3\setminus\left\{0\right\}}.

1) Si {\sum\limits a_n} converge, montrer que {f(x)} tend vers sa somme quand {x\to1^-}.

2) Donner un exemple où {f} a une limite finie mais {\sum\limits a_n} diverge.

3) Si {a_n\ge0} et {f(x)\to\ell\in\mathbb{R}}, montrer que {\sum\limits a_n=\ell}.

4) Même conclusion si {a_n=o(1/n)} et {f(x)\to\ell}.

1) Pour {n\ge3}, montrer que {x=n\ln x} a deux solutions positives {a_n\lt b_n}.

2) Construire des entiers strictement croissants {p_k}, {k\ge2}, {p_2\ge2}, tels que {\sum\limits_k2^{-(p_{k+1}-p_k)}} diverge et {\sum\limits_{j=p_k}^{p_{k+1}-1}1/\ln j\ge C>0}.

3) Pour des variables de Rademacher indépendantes {(X_n)_{n\ge2}}, étudier la convergence de {\sum\limits_{n\ge2}X_n/\ln n}.

a) Montrer l’existence et l’unicité de {(u_n)} telle que {u_n=b_n+\sum\limits_{k=0}^nu_ka_{n-k}}.

b) Montrer que {(u_n)} est bornée.

c) Si elle converge, montrer que sa limite est {0}.

Soit {a_0=\pi/2} et {a_{n+1}=\sin a_n}.

Quelle est la nature de {\sum\limits a_n^2} ?

Si {\sum\limits u_n} converge avec {u_n\ge0}, existe-t-il {v_n\ge0} tendant vers {+\infty} telle que {\sum\limits u_nv_n} converge ?

Soit {(x_n)} réelle telle que {(x_ny_n)} soit sommable pour toute suite réelle {(y_n)} de carré sommable.

Montrer que {(x_n)} est de carré sommable.

Soit {\sigma} une permutation de {\mathbb{N}^\star}.

Déterminer la nature de {\sum\limits_{n\ge1}\sigma(n)/n^2}.

Étudier la convergence de {\sum\limits_{n\ge1}\sin(\ln n)/n}.

a) Montrer que {u_n} converge vers {\ell}.

b) Montrer {\ell=-(\sqrt2+1)\sum\limits_{n\ge1}(-1)^{n+1}/\sqrt n}.

c) Montrer {u_n=\ell+1/(2\sqrt n)+O(n^{-3/2})}.

d) Montrer {\ell=-\sum\limits_{n\ge1}[\sqrt n(\sqrt n+\sqrt{n-1})^2]^{-1}}.

e) Étudier les variations de {u_n}.

f) Donner un développement analogue pour {v_n=\sum\limits_{k=1}^n1/k-\ln n}.

g) Pour {0\lt \alpha\lt 1}, donner trois termes asymptotiques de {w_n=\sum\limits_{k=1}^nk^{-\alpha}}.

Soit {f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+} continue, strictement croissante et bijective.

Montrer que {\sum\limits_{n\ge1}1/f(n)} et {\sum\limits_{n\ge1}f^{-1}(n)/n^2} sont de même nature.

a) Pour {m\ge1}, montrer {\sum\limits_{n\ge1}\sqrt m/((m+n)\sqrt n)\le\pi}. Indication : considérer {(\sqrt m,\sqrt n)} et sa projection radiale sur le cercle de rayon {\sqrt m}.

b) Pour {a_n,b_n\ge0} de carré sommable, poser {A=\sum\limits a_n^2}, {B=\sum\limits b_n^2}.

Montrer que {\sum\limits_{m,n\ge1}a_mb_n/(m+n)\le\pi\sqrt{AB}}.

a) Pour {\operatorname{Re}s>1}, montrer la sommabilité des {|F|^{-s}} sur les polynômes unitaires et calculer leur somme {z(s)}.

b) Si {A} est l’ensemble des unitaires sans facteur carré, montrer {\sum\limits_{F\in A}|F|^{-s}=z(s)/z(2s)}.

c) En déduire la proportion d’unitaires sans facteur carré de degré {d}.

La matrice {\begin{pmatrix}1&2024\\[4pt]0&1\end{pmatrix}} peut-elle s’écrire {\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nA^{2n+1}/(2n+1)!} pour {A\in M_2(\mathbb{R})} ?

1) Dans {\mathbb{C}^2}, soit {T(x_1,x_2)=(x_2,0)}.

Déterminer {\left\{\langle Tx,x\rangle:\lVert x\rVert=1\right\}}.

2) Dans {\ell^2(\mathbb{N},\mathbb{C})}, soit {T((u_n)_{n\ge0})=(u_{n+1})_{n\ge0}}.

Déterminer {\left\{\langle Tu,u\rangle:\lVert u\rVert=1\right\}}.

1) Pour les rationnels écrits sous forme réduite, on pose {h_1(f)=\sum_{\substack{p/q\in\mathbb{Q}\cap[0,1]\\[4pt]\gcd(p,q)=1,\ q\ge1}} \frac{f(p/q)}{q^3}.}Montrer que {h_1} est bien définie et continue.

2) Pour {g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} croissante, poser {h_2(f)=\sup_{t\in[0,1]}g(f(t))}.

Déterminer les points de continuité de {h_2}.

Soit {\varphi:\mathbb{N}^\star\to\mathbb{N}^\star} injective.

Déterminer la nature de {\sum\limits_{n\ge1}\varphi(n)/n^2}.

Déterminer la nature de {\sum\limits_{n\ge1}\sin(\pi\sqrt n)/n^\alpha}, selon {\alpha\in\mathbb{R}}.

Soit {(u_n)} strictement positive avec {\sum\limits_nu_n\lt \infty}.

Montrer que {\sum\limits_{n\ge1}1/(1+n^2u_n)} diverge.

1) Soit {(u_n)} strictement positive et {S_n=\sum\limits_{k=0}^nu_k}. On suppose {S_n/(nu_n)\to a>0}.

Déterminer la nature de {(S_n)} et donner un équivalent de {u_n^{-1}\sum\limits_{k=0}^nku_k}.

2) Pour deux suites positives {(u_n),(v_n)} et leurs sommes {S_n,T_n}, on suppose {S_n/(nu_n)\to a>0} et {T_n/(nv_n)\to b>0}.

Donner un équivalent de {(u_nv_n)^{-1}\sum\limits_{k=0}^nu_kv_k}.

Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} intégrable et lipschitzienne. Peut-il exister {x\ne0} tel que {\sum\limits_{n\ge1}f(nx)} diverge ?

Soit une suite réelle telle que {u_{n+1}-u_n/2\to0}.

Montrer que {u_n\to0}.

a) Donner un équivalent de {z_n} et sa valeur exacte si {\beta\in\mathbb{N}^\star}.

b) Pour une suite réelle {(x_n)}, posons {\mu_n=(n+1)^{-1}\sum\limits_{k=0}^nx_k} et {y_n=\alpha x_n+(1-\alpha)\mu_n}.

Si {y_n\to x}, montrer que {x_n\to x}.

Construire des entiers strictement croissants {(p_n)_{n\ge2}}, avec {p_2=2}, tels que {\sum\limits_{k=p_n}^{p_{n+1}-1}1/\ln k\ge C>0} uniformément en {n}, et que {\sum\limits_n2^{-(p_{n+1}-p_n)}} diverge.

On pose {\alpha=4\sum\limits_{k=0}^{499999}(-1)^k/(2k+1)}.

Montrer qu’exactement une des seize premières décimales de {\alpha} diffère de celle de {\pi} correspondante.

a) Montrer {s(x)\ge0}.

b) Étudier existence et unicité, et déterminer {s}.

c) Remplacer la limite en {-\infty} par la limite nulle en {+\infty}.

a) Pour {a>0}, calculer {\int_0^1\ln(1+t^a)\,dt/t} et {\int_0^1\ln(1-t)\,dt/t}.

b) Soit {(a_n)} une suite d’entiers strictement positifs dont toutes les sommes de sous-familles finies sont distinctes.

Montrer {\sum\limits_n1/a_n\le2}.

c) Supposons seulement qu’aucun {a_n} ne soit la somme d’une sous-famille finie des autres termes.

Montrer {\sum\limits_n1/a_n\le50}.

a) Montrer qu’il existe un unique {T_n\in\mathbb{Z}[X]} avec {T_n(2\cos t)=2\cos(nt)}.

b) Pour {x,y\in[-2,2[} distincts, montrer que {S(x,y)=\sum\limits_{n\ge1}T_n(x)T_n(y)/n} est définie et vaut {-2\ln|x-y|}.

Étudier {\sum\limits_{n\ge1}(-1)^n\sin(\ln n)/n}.

Soit {f:[0,\infty[\to[0,\infty[} de classe {C^1}, strictement croissante et tendant vers {\infty}.

Montrer que {\sum\limits1/f(n)} converge si et seulement si {\sum\limits f^{-1}(n)/n^2} converge.

Soit {(u_n)} strictement positive, croissante et tendant vers l’infini.

Montrer que {\sum\limits_n(u_n-u_{n-1})/u_n} diverge.

Soient {d_n\ge0} avec {\sum\limits_nd_n=\infty}.

Étudier {\sum\limits d_n/(1+d_n)}, {\sum\limits d_n/(1+nd_n)}, {\sum\limits d_n/(1+d_n^2)} et {\sum\limits d_n/(1+n^2d_n)}.

Pour {n\geq2}, poser {f_\beta(n)=\sum\limits_{k=2}^n(\log k)^\beta}.

Étudier {\sum\limits n^\alpha/f_2(n)}, puis {\sum\limits n^\alpha/f_\beta(n)}. Pour {\alpha>0}, donner un équivalent de {\sum\limits_{k=2}^n k^\alpha/f_2(k)}.

Pour {x\ge0}, donner un équivalent de {u_n=\prod\limits_{i=1}^n(x+i)}.

1) Montrer que {c_n=(n-1)c_{n-1}+(n-2)c_{n-2}} pour {n\ge3}.

2) Montrer que {c_n/n!} converge vers une limite non nulle.

Étudier la convergence de {\sum\limits_n|\sin(2\pi n!e)|^\alpha} pour {\alpha>0}.

1) Une suite bornée {(u_n)} vérifie {\sum\limits_{p=0}^\infty u_{n2^p}/2^p\to1}.

Que peut-on en déduire ?

2) Une suite réelle bornée {(v_n)} vérifie {v_n-v_{2n}/2\to1/2}.

Que peut-on en déduire ?

1) Montrer qu’il existe des entiers {c_0,\ldots,c_{a-1}} tels que {\sum_{k=0}^\infty\frac{k^n}{(k!)^a} =\sum_{k=0}^\infty\frac{\sum_{j=0}^{a-1}c_jk^j}{(k!)^a}.}2) Montrer leur unicité, en commençant par {a=2}.

Soient {0\lt a\lt 1} et {S_n=\sum\limits_{k=0}^\infty(1-(1-a^k)^n)}.

Montrer que cette somme est définie et donner un équivalent lorsque {n\to\infty}.

Avec {a=\sqrt2}, étudier la convergence de {S_n=\frac1n\sum_{\substack{k\in\mathbb{N}\\[4pt]a\lt k/n\lt a+1}} \frac1{k/n-a}.}

Étudier la nature de la série de terme général {u_n=(-1)^n/(n^\alpha+(-1)^n)}, selon {\alpha\in\mathbb{R}}.

Soit {(a_n)\subset]0,1[} telle que {\sum\limits_na_n/\log(1/a_n)} converge.

Montrer que {\sum\limits_{n\ge2}a_n/\log n} converge.

Montrer que {\sum\limits_{n\ge0}2^{-2^n}} converge et que sa somme est irrationnelle.

1) Si {\sum\limits u_n} converge absolument, montrer que {\sum\limits v_n} converge.

2) Est-ce encore vrai si {\sum\limits u_n} ne converge pas absolument ?

Soit {f\in C^1([0,+\infty[)} telle que {\int_0^\infty|f'|\lt \infty}.

Montrer que {\int_0^\infty f} converge si et seulement si {\sum\limits_{n\ge0}f(n)} converge.

Soit {(u_{k,n})} complexe. On suppose que, pour toute suite complexe bornée {(v_n)}, {\sum\limits_{n\ge0}v_nu_{k,n}\to0} lorsque {k\to\infty}.

Montrer que {\sum\limits_{n\ge0}|u_{k,n}|\to0}.

a) Justifier la définition {\exp M=\sum\limits_{k\ge0}M^k/k!} pour {M\in M_n(\mathbb{C})}.

b) Si {M=I+A} avec {A} nilpotente, trouver un polynôme {P} tel que {M=\exp(P(M))}.

a) Montrer que {\exp A=\sum\limits_{k\ge0}A^k/k!} est définie pour toute matrice réelle.

b) Si {AB=BA}, montrer {\exp(A+B)=\exp A\exp B}.

c) Montrer {\left(e^{A/(2k)}e^{B/k}e^{A/(2k)}\right)^k\longrightarrow e^{A+B}.}

Une suite vérifie {C} si, pour tout {\varepsilon>0}, ses termes de rangs assez grands sont deux à deux à distance au plus {\varepsilon}. Un espace vérifie {B} si toute suite vérifiant {C} converge. En admettant cette propriété pour {\mathbb{R}}, montrer que {\ell^1=\left\{u:\sum\limits_n|u_n|\lt \infty\right\}}, muni de {\lVert u\rVert_1=\sum\limits_n|u_n|}, vérifie {B}.

a) Montrer que la série est définie.

b) Montrer la continuité de {\varphi_v}.

c) Montrer que {\lVert \varphi\rVert=\inf\left\{C>0:|\varphi(u)|\le C\lVert u\rVert_1\ \forall u\right\}} définit une norme sur le dual continu de {\ell^1}.

d) Calculer {\lVert \varphi_v\rVert}.

e) Montrer que {v\mapsto\varphi_v} est une bijection de {\ell^\infty} sur ce dual.

Soit {f:\mathbb{R}_+^\star\to\mathbb{R}_+^\star} continue, strictement croissante et tendant vers l’infini.

Montrer que {\sum\limits_n1/f(n)} et {\sum\limits_nf^{-1}(n)/n^2} sont de même nature.

Pour {u_n>0} et {S_n=\sum\limits_{k=0}^nu_k}, montrer que {\sum\limits_nu_n} converge si et seulement si {\sum\limits_nu_n/S_n} converge.

* Montrer {\sum\limits_{p\le x,\ p\text{ premier}}(\ln p)/p\ge\ln x+O(1)}. Indication : considérer {\ln(n!)}.

1) Justifier l’existence de {\exp(A)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}A^k/k!}. Indication : montrer l’existence d’une norme et d’une constante {c>0} telles que {\lVert AB\rVert\le c\lVert A\rVert\lVert B\rVert}.

2) Montrer que {M:t\mapsto\exp(tA)} est de classe {C^1} sur {\mathbb{R}} et calculer {M'(t)}.

3) Soient {p\in\mathbb{N}^\star}, {u:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^p} continue et {B\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb{R})}.

Trouver toutes les fonctions dérivables {X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n} telles que {X'(t)=AX(t)+Bu(t)}.

4) Existe-t-il {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {\exp(A)=P(A)} ?