1) Montrer que cette formule définit une action sur {\mathcal H}.

2) Montrer que tout {g\in G} s’écrit de façon unique {kan}, avec {k\in SO_2(\mathbb{R})}, {a=\operatorname{diag}(x,x^{-1})}, {x>0}, et {n=\left(\begin{smallmatrix}1&\lambda\\[4pt]0&1\end{smallmatrix}\right)}.

Soient {E} euclidien, {G\leq O(E)} fini d’ordre {n>1} et {v} unitaire tel que {\lVert g(v)-v\rVert^2\lt 2n/(n-1)} pour tout {g\in G}.

Montrer que {G} possède un vecteur fixe non nul.

1) Montrer que {-1} n’est pas valeur propre d’une antisymétrique réelle {A}.

2) Montrer que {f(A)\in SO_n(\mathbb{R})} et n’a pas {-1} pour valeur propre.

3) Examiner la réciproque et calculer {f(f(A))}.

4) Expliciter {f(A)} en taille {2}.

5) En déduire la réduction orthogonale des antisymétriques en dimension paire.

Si {A,B\in M_n(\mathbb{R})} sont semblables par une matrice unitaire complexe, montrer qu’elles sont semblables par une matrice orthogonale réelle.

Soient {A\in S_n(\mathbb{R})} de valeurs propres {\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n}, et {M_i} sa sous-matrice principale obtenue en supprimant l’indice {i}, de valeurs propres {\mu_1\leq\cdots\leq\mu_{n-1}}.

Montrer {\lambda_1\leq\mu_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\mu_{n-1}\leq\lambda_n}.

Pour {A,B\in S_n(\mathbb{R})}, noter leurs valeurs propres par ordre décroissant.

Comparer {\lambda_{i+j-1}(A+B)} à {\lambda_i(A)+\lambda_j(B)} lorsque {i+j\leq n-1}.

Soit {P(X)=\sum\limits_{k=0}^{2n}a_kX^k\in\mathbb{R}[X]}, {a_{2n}\ne0}.

Montrer que {P\geq0} sur {\mathbb{R}} si et seulement s’il existe {A\in S_{n+1}^+(\mathbb{R})} telle que {a_k=\sum\limits_{i+j=k}A_{ij}}, indices de {0} à {n}.

Soient {A} antisymétrique réelle et {B\in S_n^+(\mathbb{R})}.

On suppose qu’il existe {K\in S_n(\mathbb{R})} tel que {KA-AK+B} soit définie positive.

Montrer qu’il existe {c,C>0} tels que {\lVert e^{-t(A+B)}\rVert_{op}\leq Ce^{-ct}} pour {t\geq0}.

Déterminer les fonctions {f:S_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}_+^\star} invariantes par conjugaison orthogonale et telles que {f(S)=\prod\limits_{i\leq j}f_{ij}(S_{ij})} pour certaines fonctions réelles {f_{ij}}.

Pour chaque {\varepsilon>0}, montrer qu’il existe {\delta>0}, indépendant de {n,d}, tel que : si {A,B\in O_n(\mathbb{R})}, {A^d=I} et {\lVert A^kB-BA^k\rVert\leq\delta} pour tout {k}, alors il existe {B_1\in O_n(\mathbb{R})} commutant avec {A} et tel que {\lVert B_1-B\rVert\leq\varepsilon}.

Soient {bI\leq A\leq aI}, {0\lt b\leq a}, et {X\perp Y}. Montrer {\langle X,AY\rangle^2\leq\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2\langle X,AX\rangle\langle Y,AY\rangle.}

1) Montrer que {AA^T} est diagonalisable à valeurs propres positives et définir les valeurs singulières par leurs racines carrées.

2) Comparer les valeurs singulières de {A} et {A^T}.

3) Établir {U^TAV=\left(\begin{smallmatrix}D&0\\[4pt]0&0\end{smallmatrix}\right)=R}, avec {U,V} orthogonales et {D} diagonale strictement positive.

4) Pour {A^\star=V(R)^\starU^T}, {R^\star} ayant pour bloc non nul {D^{-1}}, interpréter {AA^\star} et {A^\starA}.

1) Pour une conique {ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0}, {(a,b,c)\ne0}, contenant trois points non alignés et non incluse dans deux droites, montrer qu’un repère orthonormal lui donne une équation d’ellipse, d’hyperbole ou de parabole.

2) Pour un triangle non dégénéré {ABC}, montrer qu’une unique ellipse passe par les milieux des côtés et y est tangente aux droites portant ces côtés.

a) Que dire si {\varphi(u,v)=\varphi(u',v')\ne0} ?

b) Étudier la réciproque.

c) Montrer qu’une matrice {A} s’écrit {\varphi(u,v)} avec {(u,v)} libre si et seulement si elle est antisymétrique, non nulle et {\det A=0}.

d) Décrire son image et son noyau.

i) il existe {g_k\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})} tel que {f_{g_k}\to0} ponctuellement ;

ii) une droite est contenue dans plus de {n/2} des noyaux {\ker\varphi_i}.

a) Montrer que {e^M\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})} pour {M\in H}.

b) Montrer que {\operatorname{tr}(e^M)\ge-2}.

c) A-t-on {\exp H=\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})} ?

d) Montrer que toute matrice de ce groupe s’écrit {QR}, avec {Q\in\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})} et {R} triangulaire supérieure à diagonale strictement positive.

e) En déduire un produit de deux exponentielles d’éléments de {H}.

a) Que dire de sa taille ?

b) En considérant {M^2}, trouver un plan stable et une réduction orthogonale en blocs {R_a=\begin{pmatrix}0&-a\\[4pt]a&0\end{pmatrix}}.

c) Que devient le résultat sans l’inversibilité ?

Déterminer les {A\in M_n(\mathbb{R})} tels que {A+A^k=A^T} pour tout entier {k\ge n}.

Soient {A\in O_n(\mathbb{R})} et une réflexion {M\in O_{n+1}(\mathbb{R})}.

Poser {A'=M\operatorname{diag}(1,A)}.

Calculer {\chi_{A'}(1)} à l’aide de la première colonne de {M} et de {\chi_A}.

a) Identifier ses zéros.

b) Montrer que chaque intervalle {(\lambda_i,\lambda_{i+1})}, et {(\lambda_n,+\infty)}, contient exactement une valeur propre de {A+vv^T}.

Soit {n} impair et {M\in M_n(\mathbb{R})} telle que {M+A} soit singulière pour toute matrice antisymétrique {A}.

Montrer que {M} est antisymétrique.

Soient {A,B\in O_n(\mathbb{R})} sans valeur propre {-1}, et supposer que {AB} n’a pas {1} pour valeur propre.

Montrer que {(A-I)(BA-I)^{-1}(B-I)} est antisymétrique.

Si {A} est symétrique réelle de valeurs propres ordonnées {\lambda_1\le\cdots\le\lambda_n}, montrer que {\sum_{i=1}^k\lambda_i\le\sum_{i=1}^ka_{ii} \le\sum_{i=1}^k\lambda_{n+1-i}.}

a) Si {A} est symétrique définie positive et {B} symétrique positive, montrer que {AB} est diagonalisable à spectre positif ou nul.

b) Pour {A,B} définies positives, déterminer le minimum et l’unique minimiseur de {X\mapsto\operatorname{tr}(AX)+\operatorname{tr}(BX^{-1})} sur les matrices symétriques définies positives.

a) Montrer que {p(A)+q(A)=\operatorname{rg}A}.

b) Montrer que ces fonctions sont localement constantes au voisinage d’une matrice inversible.

c) Si {t\mapsto\det(A+tB)} n’a que des racines réelles simples, montrer qu’il en a au moins {|p(B)-q(B)|}.

a) Si {A+B} est positive et {i+j\ge n+1}, que dire de {\lambda_i(A)+\lambda_j(B)} ?

b) Généraliser à {k} matrices.

a) Si {A+B} est symétrique définie négative et {i+j\lt n+2}, montrer que {\lambda_i(A)+\lambda_j(B)\lt 0}.

b) Généraliser à {d} matrices de somme définie négative.

Soit {S} symétrique réelle et supposer non vide {E=\left\{M:S=M^TM-MM^T\right\}}. Pour la norme d’opérateur euclidienne, poser {\gamma(S)=\inf_{M\in E}\lVert M\rVert^2}.

Montrer que {\lVert S\rVert\le\gamma(S)\le2\lVert S\rVert}.

a) Si {A,B} sont symétriques définies positives, trouver {P} inversible tel que {B=P^TAP}.

b) Définir naturellement {f(A)} pour {f:\mathbb{R}_+^\star\to\mathbb{R}}.

c) Justifier que {d(A,B)=\lVert \log(A^{-1/2}BA^{-1/2})\rVert}est une distance.

d) Montrer son invariance par congruence simultanée.

Soit {A_0\in M_n(\mathbb{R})} avec {A_0+A_0^T} négative. On admet l’existence d’une unique solution globale de {A'=A^2-(A^T)^2}, {A(0)=A_0}.

Montrer qu’elle possède une limite et l’expliciter.

Soit {G} un groupe d’isométries affines du plan sans point fixe commun.

Montrer qu’il contient une translation non identique.

Soit un polygone régulier à {n\ge3} côtés.

Montrer que ses isométries affines forment un groupe de cardinal {2n}.

Si {q} est premier impair et {D_{2q}} ce groupe, montrer que tout groupe d’ordre {2q} est isomorphe à {\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}} ou à {D_{2q}}.

Montrer que toute rotation du plan complexe est composée de deux symétries orthogonales par rapport à des droites.

Montrer que toute permutation d’un ensemble fini non vide est produit de deux permutations d’ordre au plus deux.

Le résultat subsiste-t-il sur un ensemble infini ?

1) Montrer que {\lVert x\rVert_1=\lVert y\rVert_1} implique {\lVert x\rVert_2=\lVert y\rVert_2}.

2) En déduire qu’il existe {C>0} tel que {\lVert x\rVert_1=C\lVert x\rVert_2} pour tout {x}.

3) Si {u\in\mathcal L(V)} préserve l’orthogonalité, montrer qu’il existe {C\ge0} tel que {u\circ u^\star=CI}.

1) Si {r\in O(E)} vérifie {r(\Lambda)\subset\Lambda}, montrer l’égalité.

2) Montrer que {G_\Lambda=\left\{r\in O(E):r(\Lambda)=\Lambda\right\}} est un sous-groupe fini de {O(E)}.

3) Pour {n=3}, montrer que l’ordre de chacun de ses éléments divise {12}.

Soient {E} euclidien de dimension {n}, {G} un groupe fini et {\rho:G\to GL(E)} un morphisme injectif tel que tous les {\rho(g)} soient symétriques.

Montrer que les éléments de {G} sont d’ordre {1} ou {2}, puis que {|G|} divise {2^n}.

1) Donner une condition nécessaire et suffisante sur {a\in\mathbb{R}} pour que {\begin{pmatrix}1&a\\[4pt]a&1\end{pmatrix}} soit positive, puis définie positive.

2) Soit {(a,b,c)\in[-1,1]^3} tel que {1+2abc\ge a^2+b^2+c^2}.

Démontrer que, pour tout {n\ge1}, {1+2(abc)^n\ge a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}}.

1) Rappeler la définition de l’adjoint d’un endomorphisme euclidien.

2) Montrer que {u} et {u^\star} commutent si et seulement s’il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de {u} est diagonale par blocs de taille {1} ou de taille {2} de la forme {\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]-b&a\end{pmatrix}}.

1) Montrer que {\operatorname{tr}(I_p-A^{-1}B)\le\ln(\det A/\det B)}.

2) Soient {u_1,\ldots,u_n\in\mathbb{R}^p} et {\lambda>0}. Posons {A_m=\sum\limits_{k=1}^mu_ku_k^t} et {B_m=\lambda I_p+A_m}.

Montrer que chaque {B_m} est symétrique définie positive.

3) Si {\lambda_1,\ldots,\lambda_p} sont les valeurs propres de {A_n} avec multiplicité, montrer que {\sum_{m=1}^n\langle u_m,B_m^{-1}u_m\rangle \le\sum_{i=1}^p\ln(1+\lambda_i/\lambda).}

1) Que dire du spectre complexe d’une matrice symétrique réelle ? D’une matrice antisymétrique réelle ?

2) Soient {A\in C^1(\mathbb{R},M_n(\mathbb{R}))} et {B\in C^0(\mathbb{R},M_n(\mathbb{R}))}, avec {A'=AB-BA}, {A(t)} symétrique et {B(t)} antisymétrique.

Montrer qu’il existe {P\in C^1(\mathbb{R},O_n(\mathbb{R}))} tel que {A(t)=P(t)^{-1}A(0)P(t)}.

3) Pour {n=2}, on pose {A=\begin{pmatrix}b_1&a_1\\[4pt]a_1&b_2\end{pmatrix}}, {B=\begin{pmatrix}0&a_1\\[4pt]-a_1&0\end{pmatrix}}, et {(S):\quad a_1'=a_1(b_2-b_1),\quad b_1'=2a_1',\quad b_2'=-2a_1', \quad b_1(0)+b_2(0)=0,\quad a_1(0),b_1(0)\ge0.}Calculer {AB-BA} et trouver une solution particulière de {(S)} près de {0}.

1) Pour {n\ge2}, montrer que le groupe des isométries vectorielles de {\mathbb{R}^2} préservant les racines {n}-ièmes de l’unité est d’ordre {2n} ; on le note {D_{2n}}.

2) Pour un nombre premier {p}, montrer que tout groupe d’ordre {2p} est isomorphe à {\mathbb{Z}/2p\mathbb{Z}} ou à {D_{2p}}.

Pour {\omega\in\mathbb{R}}, soit {R(\omega)=\begin{pmatrix}0&-\omega\\[4pt]\omega&0\end{pmatrix}}.

Si {\varphi:\mathbb{R}\to O_n(\mathbb{R})} est un morphisme de groupes continu, montrer qu’il existe {\omega_1,\ldots,\omega_r\in\mathbb{R}} et {P\in O_n(\mathbb{R})} tels que {\varphi(t)=P\operatorname{diag}(e^{tR(\omega_1)},\ldots,e^{tR(\omega_r)},I_{n-2r})P^{-1}} pour tout {t}.

Déterminer les symétries linéaires sur {S_n(\mathbb{R})} qui fixent un hyperplan et stabilisent {S_n^{++}(\mathbb{R})}.

Soit {H\in S_n^{++}(\mathbb{R})} avec {H_{ij}\le0} pour {i\ne j}. On dit que {i,j} sont connectés s’il existe {m\ge1} et {k_1,\ldots,k_m} avec {k_1=i,k_m=j} et {H_{k_\ell,k_{\ell+1}}\ne0} pour {1\le\ell\lt m}.

Montrer que {i,j} sont connectés si et seulement si {(H^{-1})_{ij}>0}.

a) Montrer que pour {u} il existe un unique endomorphisme {z_u} tel que {\det(u,x,y)=\langle z_u(x),y\rangle}, et que {z_u^\star=-z_u}.

b) Pour {u} unitaire, on oriente {u^\perp} par les bases {(x,y)} telles que {(x,y,u)} soit directe. Soit {r_{u,\theta}} la rotation fixant {u} et d’angle {\theta} sur ce plan, et {p_u} la projection sur {\mathbb{R}u}.

Donner sa trace et montrer {r_{u,\theta}=\cos\theta I+(1-\cos\theta)p_u+\sin\theta z_u}.

c) Pour {u,v} unitaires et {\tau=\arccos\langle u,v\rangle}, montrer que {r_{u,\phi}r_{v,\psi}=r_{w,\theta}} avec {|\cos(\theta/2)|=|\cos(\phi/2)\cos(\psi/2)-\cos\tau\sin(\phi/2)\sin(\psi/2)|.}

a) Montrer {\lambda_1=0}.

b) Montrer {\lambda_2=\min_{X\perp(1,\ldots,1),X\ne0}X^TLX/(X^TX)}.

c) Pour {S\subset V}, soit {\partial S=\left\{\left\{i,j\right\}\in E:i\in S,j\notin S\right\}}.

Montrer {\lambda_2/2\le\min_{0\lt |S|\le n/2}|\partial S|/|S|}.

a) Montrer que {M\mapsto M^{-1}} est décroissante sur {S_n^{++}}.

b) {M\mapsto M^2} y est-elle croissante ?

c) Montrer que {M\mapsto M^r} y est convexe pour {-1\le r\le0}, c’est-à-dire {(tA+(1-t)B)^r\le tA^r+(1-t)B^r} pour {0\lt t\lt 1}.

a) Donner un exemple.

b) Montrer que toute {A} s’écrit {PDQ} avec {P,Q} orthogonales et {D=\operatorname{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_r,0,\ldots,0)}, {\sigma_i>0}.

c) Pour une telle norme {N} et {T(A)=\sup_{\lVert X\rVert=1}\lVert AX\rVert}, montrer qu’il existe {\alpha>0} tel que {T(A)=\alpha N(A)} pour toute matrice de rang un.

a) Pour {A} symétrique,

i) préciser valeurs et espaces propres ;

ii) pour {x\ne0}, {\alpha\in\mathbb{R}}, {y=Ax-\alpha x}, montrer {\min_i|\lambda_i-\alpha|\le\lVert y\rVert/\lVert x\rVert}.

b) Pour {A} réelle diagonalisable, {P^{-1}AP} diagonale, {B\in M_n(\mathbb{R})} et {\alpha\in\operatorname{Sp}(A+B)}, montrer {\min_i|\lambda_i-\alpha|\le\lVert P\rVert_{op}\lVert P^{-1}\rVert_{op}\lVert B\rVert_{op}}.

Une forme quadratique sur {\mathbb{R}^n} est une application {q(x)=\sum\limits_{i,j}a_{ij}x_ix_j} pour une matrice réelle {(a_{ij})}. Soit {G} un sous-groupe fini de {GL_n(\mathbb{R})} dont les seuls sous-espaces communs stables sont {\left\{0\right\}} et {\mathbb{R}^n}.

Montrer que les formes quadratiques invariantes par {G} constituent une droite vectorielle.

a) Calculer ce nombre si {M} est symétrique définie positive.

b) Montrer {\operatorname{cond}(M)\ge1} et {\operatorname{cond}(M^T)=\operatorname{cond}(M)}.

c) Caractériser le cas d’égalité {1}.

d) Pour {A,B>0}, montrer {\operatorname{cond}(A+B)\le\max(\operatorname{cond}A,\operatorname{cond}B)}.

a) Montrer {A\ge0}.

b) Donner une condition pour {A=0} et exprimer {\ker A}.

c) Montrer que {M=(1/(1+i+j))_{1\le i,j\le n}} est définie positive.

d) Si chaque {a(t)} est un projecteur orthogonal, donner une condition pour que {A} le soit.

e) Pour {\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}\,dt} et {0\lt \alpha\lt \beta}, montrer que {\begin{pmatrix}\Gamma(2\alpha)&\Gamma(\alpha+\beta)\\[4pt]\Gamma(\alpha+\beta)&\Gamma(2\beta)\end{pmatrix}} est définie positive.

f) En déduire la convexité de {\ln\Gamma}.

a) Pour {n=2}, montrer que les composantes {f_1,f_2} sont harmoniques, c’est-à-dire {\Delta f_1=\Delta f_2=0}.

b) Montrer que le résultat est faux si {n\ge3}. On pourra considérer {f(x)=x/\lVert x\rVert^2} sur {\mathbb{R}^n\setminus\left\{0\right\}}.

a) Trouver, pour {1\le i\lt j\le n}, la valeur de l’angle entre {v_i} et {v_j}.

b) Montrer que {D_{2n}} est un sous-ensemble fini de {O(E)}.

c) Montrer que {D_{2n}} est stable par composition et passage à l’inverse.

d) Exprimer {D_6} et {D_8}.

e) Si {\sigma(v_1)=v_i}, montrer que {\sigma(v_2)=v_{i-1}} ou {v_{i+1}}.

f) En déduire que le cardinal de {D_{2n}} est {2n}.

g) Montrer que {D_{2n}=\left\{\mathrm{id},r,sr,r^2,sr^2,r^3,sr^3,\ldots\right\}}, où {s} est une réflexion et {r} une rotation d’angle {\arccos\langle v_1,v_2\rangle}.

h) On note {D=\bigcup_{n\ge3}D_{2n}}.

Montrer que toute isométrie vectorielle est limite d’une suite d’éléments de {D}.

a) Soit {A\in S_n^+(\mathbb{R})} de rang {k}.

Montrer qu’il existe des vecteurs {U_1,\ldots,U_k} linéairement indépendants dans {\mathbb{R}^n} tels que {A=\sum\limits_{j=1}^kU_jU_j^T}. Pour {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb{R})}, leur produit d’Hadamard {A\circ B} a pour coefficient général {a_{ij}b_{ij}}.

b) Montrer que, si {A} et {B} sont symétriques de rang {1}, {A\circ B} est symétrique de rang au plus {1}.

c) Montrer que, si {A} et {B} sont symétriques positives, {A\circ B} est symétrique.

d) Montrer alors que {A\circ B} est symétrique positive.

a) Montrer que {M=(a,b)}, avec {a=\langle Dy,y\rangle}, {b=\langle D^{-1}y,y\rangle} et {D=\operatorname{diag}(\lambda_i)}.

b) Montrer que {a^{-1}\le b\le-a/(\lambda_1\lambda_n) +\lambda_1^{-1}+\lambda_n^{-1}}.

c) En déduire {1\le ab\le\frac14\left(\sqrt{\lambda_1/\lambda_n} +\sqrt{\lambda_n/\lambda_1}\right)^2.}d) On considère {A\in S_n^{++}(\mathbb{R})} et {x\in\mathbb{R}^n}.

Montrer que {\lVert x\rVert_2^4\le\langle Ay,y\rangle\langle A^{-1}y,y\rangle \le\frac14\left(\sqrt{\lambda_1/\lambda_n} +\sqrt{\lambda_n/\lambda_1}\right)^2\lVert x\rVert_4^2.}e) Soient {b\in\mathbb{R}^n}, {c\in\mathbb{R}} et {f(x)=\frac12\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle+c}.

Montrer que {f} admet un minimum atteint en un unique point et déterminer sa valeur.

1) Pour {A} symétrique et {B\in\mathbb{R}^n}, montrer que {f(X)=X^tAX/2-B^tX} est minorée si et seulement si {A} est positive et {B\in\operatorname{Im}A}.

2) Pour deux telles fonctions minorées {f_1,f_2}, montrer que {\lVert \nabla f_1(X)\rVert=\lVert \nabla f_2(X)\rVert} pour tout {X} implique {f_1=f_2}.

3) Pour {A_1,A_2} symétriques positives, montrer {\operatorname{Im}(A_1+A_2)=\operatorname{Im}A_1+\operatorname{Im}A_2}, puis {\ker(A_1+A_2)=\ker A_1\cap\ker A_2}.

1) Rappeler {|\cdot|_2} et montrer {\lVert M\rVert_2=\sup_{|X|_2=1}|MX|_2}.

2) Montrer qu’il s’agit d’une norme sous-multiplicative.

3) Montrer que le supremum est atteint.

4) Montrer {A^tA\in S_n^{++}(\mathbb{R})}.

5) Pour les valeurs propres {\sigma_1\le\cdots\le\sigma_n} de {A^tA}, montrer {k(A)=\sqrt{\sigma_n/\sigma_1}}.

6) Calculer {\lVert A\rVert_2} et {k(A)} si {A} est symétrique définie positive.

7) Montrer que {k(A)=1} équivaut à {A=\alpha Q}, avec {\alpha\ne0}, {Q} orthogonale.

a) Montrer que {P} est orthogonale et que {P^{\mathsf T}} est une matrice de permutation.

b) Pour {M\in\left\{-1,1\right\}^{n\times n}}, montrer que {M} est une H-matrice si et seulement si {M^{\mathsf T}M=nI_n}.

c) Si {D} est diagonale à coefficients diagonaux {\pm1}, {M} une H-matrice et {P} une matrice de permutation, montrer que {DM,M^{\mathsf T},MD,PM} sont des H-matrices.

On suppose désormais qu’il existe une H-matrice d’ordre {n\ge3}.

d) En construire une, {S}, dont la première ligne ne contient que des {1}.

e) Montrer que {\sum\limits_{k=1}^n(s_{ik}+1)(s_{jk}+1)=n} pour {2\le i\ne j\le n}.

f) En déduire {n=4k} pour un entier {k\ge1}.

g) Construire une H-matrice dont les trois premières lignes sont, par blocs de longueur {k}, {\begin{pmatrix}+&+&+&+\\[4pt]+&+&-&-\\[4pt]+&-&+&-\end{pmatrix},}où chaque signe représente un bloc constant de {1} ou de {-1}.

1) Montrer que {f(X)=X^TBX/(X^TAX)} sur {\mathbb{R}^n\setminus\left\{0\right\}} a un minimum {m} et un maximum {M}.

2) Montrer que {A^{-1}B} est diagonalisable et que {m,M} sont ses valeurs propres extrêmes.

Soit {f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n} telle que {\langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle} pour tous {x,y}.

Montrer que {f} est une isométrie linéaire.

Soit {A\in S_3(\mathbb{R})} telle que {\operatorname{tr}A=3}, {\operatorname{tr}(A^2)=5} et {\operatorname{tr}(A^3)=9}.

Déterminer l’infimum de {\operatorname{tr}(M^2)} pour {M\in S_3(\mathbb{R})} vérifiant {\operatorname{tr}(AM)=\operatorname{tr}(A^2M)=1}.

Soient {A,B\in S_2^+(\mathbb{R})} telles que, pour tout {s>0}, {\operatorname{tr}((sI_2+A)^{-1}) =\operatorname{tr}((sI_2+B)^{-1}).}Montrer que {A,B} sont semblables.

Est-ce encore vrai en dimension {n} ?

Soit {A_0=\begin{pmatrix}3/4&1/2\\[4pt]1/2&5/4\end{pmatrix}} et {A_{n+1}=2A_n-A_n^2}.

Déterminer {\lim_{n\to\infty}\det A_n}.

1) Montrer que {(A,B)\mapsto\operatorname{tr}(AB)} est un produit scalaire sur {S_n(\mathbb{R})}, puis que {N_2} est une norme.

2) Montrer {N_1(M)=\sup_{O\in O_n(\mathbb{R})}|\operatorname{tr}(MO)|}, puis que {N_1} est une norme.

1) Quelles sont les valeurs propres complexes possibles ?

2) Donner un exemple possédant toutes ces valeurs propres.

1) Pour {S\in S_n(\mathbb{R})} inversible, montrer l’équivalence : {S} a {k} valeurs propres strictement positives, comptées avec multiplicité ; il existe {F,G} de dimensions {k,n-k} tels que {x^tSx\ge0} sur {F} et {y^tSy\le0} sur {G}.

2) Montrer que {P^tSP} a le même nombre de valeurs propres positives que {S} pour tout {P} inversible.

Soient {a} autoadjoint sur un espace euclidien {E}, {u\ne0} et {V=\operatorname{Vect}\left\{a^k(u):k\in\mathbb{N}\right\}}.

Montrer que l’endomorphisme induit sur {V} a uniquement des valeurs propres simples.

Soient {p,q} deux projecteurs orthogonaux commutant sur un espace euclidien {E}.

Montrer que {pq} est un projecteur orthogonal.

Soient {A\in S_n(\mathbb{R})}, {a\in\mathbb{R}}, {x\in\mathbb{R}^n} et {M=\begin{pmatrix}A&x\\[4pt]x^{\mathsf T}&a\end{pmatrix}}.

Si les valeurs propres ordonnées sont {\lambda_1\le\cdots\le\lambda_n} pour {A} et {\mu_1\le\cdots\le\mu_{n+1}} pour {M}, montrer {\mu_1\le\lambda_1\le\mu_2\le\lambda_2\le\cdots\le\mu_n\le\lambda_n\le\mu_{n+1}.}

Pour {A,B\in S_n(\mathbb{R})}, on écrit {A\le B} lorsque {B-A} est positive.

Montrer que {\Phi:M\mapsto M^{\mathsf T}M} est convexe au sens de cet ordre : {\Phi((1-\lambda)A+\lambda B)\le(1-\lambda)\Phi(A)+\lambda\Phi(B)}pour {A,B\in M_n(\mathbb{R})} et {0\le\lambda\le1}.

a) Montrer que {F_n=\sum\limits_{i=0}^nc_{i,n}A^{n-i}BA^i} pour des réels {c_{i,n}}.

b) Si {A} est symétrique, donner une condition nécessaire et suffisante pour que {F_n\to0} pour toute matrice initiale {B}.