Soient {i(k)} et {p(k)} les nombres de diviseurs positifs impairs et pairs de {k}.

Étudier la limite, un équivalent et un développement asymptotique de {u_n=\frac1n\sum_{k=1}^n(i(k)-p(k)).}

1) Montrer qu’il existe un plus petit indice {k_n} tel que {P(k_n,n)\le1/2}.

2) Montrer que {k_n\to\infty}.

3) Montrer que {k_n=o(n)}.

a) Montrer que {\ell_n=o(n)}.

b) Donner un équivalent de {\ell_n}.

a) Montrer que {f(x)\lt 1/x} pour {x>0}.

a) Montrer que {f(x)>(\sqrt{x^2+4}-x)/2} pour {x>0}.

a) Donner un développement asymptotique à quatre termes en {+\infty}.

a) Pour {x\ge0}, poser {f(x)=|\left\{(n,m)\in(\mathbb{N}^\star)^2:n^2+m^2\le x\right\}|}.

Donner un équivalent en {+\infty}.

b) Pour {0\le t\lt 1}, poser {g(t)=\sum\limits_{n\ge0}t^{n^2}}.

Donner un équivalent en {1^-} en utilisant {g^2}.

a) Donner sa limite et un équivalent en {+\infty}.

b) Donner un développement asymptotique à tout ordre.

c) Quand ce développement est-il issu d’une série convergente pour tout {x>0} ?

Pour {\sigma\in S_{2n}}, relier les points {e^{ik\pi/n}} et {e^{i\sigma(k)\pi/n}} par un segment {s(\sigma,k)}. Deux segments se croisent si leur intersection contient un point qui n’est pas une extrémité. Soit {b(\sigma)} le nombre de segments ne croisant aucun autre.

Pour {\sigma} uniforme, calculer {\mathbb E(b(\sigma))} et un équivalent.

a) Montrer que {\int_0^\infty P(T_n\ge t)dt=\sqrt n(n/e)^n/n!.}b) On admet que, pour tout réel {t}, {P(T_n\ge t)\to(2\pi)^{-1/2}\int_t^\infty e^{-u^2/2}du}.

Retrouver la formule de Stirling.

a) Pour {a_0=1/2}, montrer {1/a_n-n\sim\ln n}.

b) Pour {a_0>1}, déterminer la limite puis un équivalent de {a_n}.

c) Donner un développement asymptotique à deux termes de {a_n}.

a) Pour {n\ge3}, montrer que {x-n\ln x=0} possède deux solutions {0\lt x_n\lt y_n}.

b) Donner leurs développements asymptotiques à deux termes.

Soit {A\in M_3(\mathbb{R})} avec {\mathbb{R}^3=\ker(A-I)^2\oplus\ker(A-2I)}.

Pour {x\ne0}, donner un équivalent de {\lVert A^nx\rVert}.

Soit {n\geq1} et {f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+^\star} de classe {C^\infty}. Supposer {f^{(n)}} jamais nulle et {\sup_{y\in[x-1,x+1]}f^{(n)}(y)/f^{(n)}(x)\to1} en {+\infty}. Montrer {\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^{n-k}f(x+k)\sim f^{(n)}(x).}

On note {\tau(n)} le nombre de diviseurs de {n\ge1}.

Montrer que {\tau(n)=o(n^u)} pour tout {u>0}.

1) Pour {x\ge0}, donner un équivalent de {u_n=(x+1)\cdots(x+n)} sous la forme {C(x)v_n(x)}, avec {v_n} explicite.

2) Calculer {C(k)} pour {k\in\mathbb{N}} et sa limite lorsque {x\to\infty}.

1) Trouver un équivalent de {u_n}.

2) Pour {\lambda\in\mathbb{R}}, poser {v_n=u_n-n\log n+n+n\log\log n+\lambda n}.

Montrer que {v_n\to+\infty} si {\lambda\ge0}, et {v_n\to-\infty} sinon.