1) Montrer que {(a_n)} est périodique.

2) On suppose {\cos(\pi r)\in\mathbb{Q}}.

Que dire de {r} ?

1) Montrer que {f} a un unique point fixe {a}.

2) Montrer que {x_0=0}, {x_{n+1}=f(x_n)} converge vers {a}.

Montrer que la distance de {((1+\sqrt5)/2)^n} à {\mathbb{Z}} tend vers {0}.

1) Expliquer précisément le lien entre la suite et le début du développement décimal de {1/9899=0{,}00010102030508132134\ldots}.

2) On pave le rectangle {\left\{0,1\right\}\times\left\{0,\ldots,2n\right\}} par dominos horizontaux ou verticaux.

Calculer la proportion {q_n} des pavages contenant le domino vertical central et sa limite.

3) La suite {(u_n\bmod100)} est-elle périodique ?

Les suites réelles {(u_n),(v_n)} vérifient {u_{n+1}=\int_0^1\max(x,v_n)\,dx,\qquad v_{n+1}=\int_0^1\max(x,u_n)\,dx.}Étudier leur convergence.

Soit {C} l’ensemble des matrices inversibles réelles {2\times2} à coefficients tous non nuls.

Poser {J(M)=(1/m_{ij})} et {\varphi(M)=J(M^{-1})}.

Montrer que {\varphi:C\to C} est bien définie.

À quelle condition la suite {(\varphi^n(M))} est-elle stationnaire, ou périodique à partir d’un certain rang ?

On considère la suite réelle définie par {x_0=2} et {x_{n+1}=x_n+x_n^2/n^2} pour {n\ge1}.

Montrer qu’il existe {C>1} tel que {x_n\sim C^{2^n}n^2}.

Soit {a_0=1}, {a_1=2} et {a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}/n^2} pour {n\ge1}.

Donner un équivalent de {a_n}.

Soit {(x_n)} une suite de points de {[0,1]^2}.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que, pour toute permutation {\sigma} de {\mathbb{N}}, il existe {f:[0,1]\to[0,1]^2} continue et une suite strictement croissante {(t_n)} dans {[0,1]} avec {f(t_n)=x_{\sigma(n)}}.

a) Calculer {P_n} et étudier sa convergence.

b) Relier {P_n} et {P_{n+1}}.

c) Estimer {2\pi-P_n}.

d) Proposer une approximation de {\pi} par excès.

Soit {(u_n)_{n\ge1}} une suite réelle majorée telle que {u_n=\frac1n\sum_{k=n+1}^{2n}u_k\qquad(n\ge1).}Montrer que la suite est constante.

1) Étudier l’existence et la convergence pour {z_0\in\mathbb{R}^\star}.

2) Même question pour {z_0\in\mathbb{C}^\star}.

1) Pour {n\ge1}, montrer que {\sum\limits_{k=1}^nx^k=1} possède une unique solution positive {a_n}.

2) Déterminer la limite {\ell} de {(a_n)} et un équivalent de {a_n-\ell}.

Soit {(a_n)} strictement décroissante dans {]0,1[}, {\alpha>0}, et {u_{n+1}=u_n(u_n^\alpha+a_n)} avec {u_0\ge0}.

Montrer qu’il existe un unique {u_0} pour lequel {u_n} converge vers une limite strictement positive, et déterminer cette limite.

1) Montrer que {M_n(f,S)} converge pour toute suite {S} si et seulement si {f} est constante.

2) Une suite {(u_n)} est équirépartie modulo {1} si ces moyennes tendent vers {\int_0^1f} pour toute {f} continue {1}-périodique.

Montrer que {(\sqrt n)} est équirépartie modulo {1}.

1) Si {f} est croissante, montrer que {f(n)=c\log n} pour une constante {c}.

2) Même conclusion si {f(n+1)-f(n)\to0}.

* [MPI] Soient {a\lt b} et une suite réelle {(u_n)} telle que, pour chaque {t\in[a,b]}, il existe des entiers {k_n} avec {tu_n-k_n\to0}.

Montrer que {u_n\to0}.

a) Montrer {|J(\sigma)-f(a)(g(b)-g(a))|\le AB\zeta(s)(2(b-a))^s}.

b) Montrer que ces sommes ont une limite commune lorsque le pas de la subdivision tend vers zéro.

1) Déterminer les zéros réels de {f_0,f_1,f_2}.

2) Montrer que {f_{2n}} ne s’annule pas sur {\mathbb{R}} et que {f_{2n+1}} admet un unique zéro, noté {r_n}.

3) Montrer que {-(2n+3)\lt r_n\lt 0}.

4) Montrer que {(r_n)} est décroissante et tend vers {-\infty}.

Soit {\alpha>0} et {a_{n+1}=(b_n+c_n)/\alpha}, {b_{n+1}=(a_n+c_n)/\alpha}, {c_{n+1}=(a_n+b_n)/\alpha}.

Étudier le comportement asymptotique des trois suites.

i) {A_{n-1}=o(a_n)} ;

ii) {a_{n-1}=o(a_n)} ;

iii) {A_{n-1}=o(A_n)}.

Soient {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continue et {x_{k+1}=f(x_k)}.

Si les moyennes {n^{-1}\sum\limits_{k=1}^nx_k} sont bornées, montrer que {f} a un point fixe.

a) Résoudre {f'=-f^2}, {f(0)=1}, avec {f>0} sur {\mathbb{R}_+}. Pour {0\lt h\lt 1/2}, posons {y_0=1}, {y_{n+1}-y_n=-hy_n^2}.

b) Montrer {y_n\to0}.

c) Montrer {1/y_n=1+nh+o(n)}.

Soit {\alpha>0} et {a_{n+1}=(b_n+c_n)/\alpha}, {b_{n+1}=(a_n+c_n)/\alpha}, {c_{n+1}=(a_n+b_n)/\alpha}.

Étudier le comportement asymptotique des trois suites.

Étudier les limites des suites {u_{n+1}=\sin u_n} et {v_{n+1}=1-\cos v_n}.

Pour la première, existe-t-il {0\lt k\lt 1}, {c>0} tels que {|u_n|\leq ck^n} ?

Soit {u_0,u_1>1} et {u_n=(u_{n-1}^2+u_{n-2}^2)/2} pour {n\geq2}.

Déterminer sa limite, montrer que {2^{-n}\log u_n} converge et en déduire un équivalent de {u_n}.

Soit {f\in C^1(\mathbb{R})}, {f(x)=x}, {|f'(x)|>1} et {x_{n+1}=f(x_n)}.

Montrer que {x_n\to x} si et seulement si la suite prend la valeur {x}.

1) {A} a une valeur propre réelle {\lambda\lt 0} ou {\lambda>1} ;

2) {A} est nilpotente ;

3) {A=\lambda I+N}, {N\ne0}, {N^2=0}, {0\lt \lambda\lt 1} ;

4) {A=\lambda I+N}, {N^2\ne0}, {N^3=0}, {0\lt \lambda\lt 1}.

Soit {u_0>0} et {u_{n+1}=u_n-e^{-1/u_n}}.

Déterminer sa limite et montrer que {n^\alpha u_n\to+\infty} pour tout {\alpha>0}.

Déterminer la limite de {\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}}. Indication : étudier, pour {n\ge m}, {a_{m,n}=\sqrt{1+m\sqrt{1+(m+1)\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}} et {a_{m,n}^2-(m+1)^2}.

Pour une suite bornée {(u_n)}, montrer l’équivalence entre : (i) {\frac1n\sum\limits_{k\lt n}|u_k|\to0} ;

(ii) il existe {A\subset\mathbb{N}} tel que {|A\cap\left\{0,\ldots,n-1\right\}|/n\to0} et {u_n\to0} lorsque {n\to\infty} en restant hors de {A}.

Soit {P=X^2+c_1X+c_0} avec {c_0,c_1\in\mathbb{N}}.

Déterminer les suites d’entiers naturels telles que {P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}} pour tout {n\ge0}.

Soit {k\in\mathbb{N}}.

Déterminer les suites {(a_n)_{n\ge0}} à valeurs dans {\mathbb{N}} pour lesquelles il existe un polynôme unitaire {P\in\mathbb{N}[X]} de degré {k} tel que {P(a_n)=\prod_{j=1}^ka_{n+j}\qquad(n\ge0).}

Pour {x>0}, posons {f_n(x)=x^n+x^{1/n}}.

Pour {a>0}, montrer qu’il existe un unique {x_n>0} tel que {f_n(x_n)=a}, puis déterminer la limite de {x_n} en fonction de {a}.

1) Trouver {\alpha} tel que {|a_n|\le Cn^\alpha} pour {n\ge1}.

2) Si {a_0>0}, montrer que {\sum\limits_na_n} diverge.

Pour {A\in S_d^{++}(\mathbb{R})}, posons {A_0=A}, {A_{n+1}=A_n+A_n^{-2}}.

Donner un équivalent de {\operatorname{tr}A_n}.

Pour {n\ge1}, posons {v_n=\sum\limits_{k=1}^{n^2}1/(n^2+k^2)}.

Déterminer {\lim_nnv_n}.

Pour {u_0,u_1>0}, posons {u_{n+2}=\sqrt{u_{n+1}}+\sqrt{u_n}}.

Montrer que la suite converge.

a) Si {\limsup_{k\to\infty}\ln(\ln a_k)/k>\ln2}, montrer que {t_n} diverge.

b) Si ce limsup est inférieur à {\ln2}, montrer que {t_n} converge.

Soit {G:[0,1]\to\mathbb{R}}, avec {G(0)=G(1)=0}, continue en un, dérivable en zéro et {G'(0)\ge0}. Supposons {G(x)=\max_{0\le y\le x}(G(y)+G(x-y))}.

Montrer {G=0}.