Si {f(z)=O(z^p)} à l’origine, montrer que, pour tout {r>0} assez petit, il existe au moins {2p} nombres distincts {z} de module {r} tels que {f(z)\in\mathbb{R}}.

Montrer qu’il existe une suite bornée d’entiers {(c_k)} telle que {f(t)=\sum\limits_{k\ge0}c_kt^k} vérifie {f(\alpha_i)=\beta_i}.

Pour {N-2^m+1\le n\le N+2^m-1}, montrer que {a_{n,k}=p!} si {(n,k)=(N,p)}, et {0} sinon.

2) {R=\infty} et, pour tout {\varepsilon>0}, {|f(z)|\le e^{(C+\varepsilon)|z|}} pour {|z|} assez grand.

b) Déterminer ce rayon.

Montrer que, pour {r>0} assez petit, au moins {2k} points distincts {|z|=r} vérifient {f(z)\in\mathbb{R}}.

Si {x\lt y} sont deux racines de {A}, montrer que {[x,y]} contient une racine de {B}.

Montrer que {\int_0^1|f(t)|dt\lt \infty}.

b) Montrer que tous les {b_k} sont non nuls.

Noter {D} son disque de convergence.

Déterminer le rayon de convergence de {\sum\limits_{n\ge0}a_nz^{n^2}}.

Montrer qu’entre deux racines de {A}, au sens large, il y a une racine de {B}.

c) Existe-t-il une telle série qui converge pour toutes ces matrices ?

d) Soit {f(z)=\sum\limits_{n\ge0}a_nz^n}. On rappelle que {f^{(k)}(z)=\sum\limits_{n\ge k}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_nz^{n-k}}.

Si {\chi_M=\prod\limits_i(X-\lambda_i)^{\alpha_i}} avec {|\lambda_i|\lt R} :

i) montrer qu’il existe un polynôme {P} tel que {P^{(k)}(\lambda_i)=f^{(k)}(\lambda_i)} pour {0\le k\lt \alpha_i} ;

ii) montrer {f(M)=P(M)} si {M} est diagonalisable ;

iii) est-ce encore vrai sans diagonalisabilité ?

Montrer que {h} est définie sur {\mathbb{R}} et développable en série entière au voisinage de {0}.

Montrer que sa somme vaut {Q(x)e^x} pour un polynôme {Q}.

Déterminer ses limites en zéro et à l’infini, puis la régularité de son prolongement en zéro.

Pour {g(x)=f(1/x)}, trouver {h} tel que {g(x)-h(x)=o(x^n)} en zéro à droite pour tout {n\in\mathbb{N}}.

Montrer que le rayon de convergence de {\sum\limits a_nz^n} est strictement positif et en donner un minorant.

Comparer les assertions : (i) {(\sigma_n)} converge ;

(ii) {\sum\limits a_nx^n} a un rayon au moins égal à {1} et admet une limite finie lorsque {x\to1^-}.

Montrer, pour {|x|\lt 1}, {\int_0^1(1-t^x)/(1-t)\,dt =\sum\limits_{k\ge1}(-1)^{k+1}\zeta(k+1)x^k}.

En déduire {S=\sum\limits_{k\ge1}(\zeta(2k)-\zeta(2k+1))}.

Montrer que, pour {r>0} assez petit, au moins {2k} points du cercle {|z|=r} vérifient {f(z)\in\mathbb{R}}.

Montrer que {f(2/3)=3/2} impose l’irrationalité de {f(1/2)}.

Cette fonction est-elle développable en série entière ?

Si oui, déterminer le rayon de convergence et le signe des coefficients de ce développement.

Montrer que les coefficients sont entiers. Pouvait-on le prévoir ?

Montrer que {|\pi-S_n-(-1)^n/n|\le1/(2n^3)}.

Montrer qu’il existe {\varphi:\mathbb{C}\to\mathbb{C}}, somme d’une série entière de rayon {+\infty}, telle que {A(z)=\begin{pmatrix}\cos\varphi(z)&-\sin\varphi(z)\\[4pt]\sin\varphi(z)&\cos\varphi(z)\end{pmatrix}.}

On suppose qu’il existe une subdivision {a=a_0\lt \cdots\lt a_n=b} telle que chaque restriction {\gamma_j} à {[a_j,a_{j+1}]} soit de classe {C^1}.

Pour {f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}} continue, on définit {\int_\gamma f(z)\,dz=\sum_{j=0}^{n-1}\int_{a_j}^{a_{j+1}}f(\gamma_j(t))\gamma_j'(t)\,dt.}Si {\gamma(a)=\gamma(b)} et {f} est développable en série entière sur {\mathbb{C}}, montrer que {\int_\gamma f(z)\,dz=0}.