1) Pour {f\in E} et {\varepsilon>0}, montrer qu'il existe {\delta>0} tel que {|f(x)-f(y)|\le\varepsilon+\frac{2\lVert f\rVert_\infty}{\delta^2}(x-y)^2.}

2) Si les {T_n} sont positifs et {T_ne_i\to e_i} uniformément pour {i=0,1,2}, montrer que {T_nf\to f} uniformément pour tout {f\in E}.

a) Soient {(a_m),(b_m)} réelles avec {b_m-a_m\to0} et des fonctions {f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telles que, pour chaque {m}, on ait {a_m\le f_n\le b_m} pour tout {n\ge N_m}.

Montrer que {f_n} converge uniformément vers une constante.

b) Soit {H} l'ensemble des fonctions continues strictement croissantes {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} avec {f(x+1)=f(x)+1}.

Montrer que {H} est un groupe pour la composition.

c) Pour {f\in H}, montrer {\sup_x(f(x)-x)\lt 1+\inf_x(f(x)-x)}.

1) Montrer que {T(f)} est continue, positive ou nulle et nulle en {0}.

2) Montrer que {(\lVert T^n(f)\rVert_\infty)} est décroissante.

3) Si {f} est {K}-lipschitzienne, montrer que {T(f)} est lipschitzienne.

4) Pour {f} lipschitzienne, montrer que {T^nf\to0} uniformément.

1) Soit {(f_n)\subset C^1([0,1],\mathbb{R})} convergeant uniformément vers {f}. On suppose que {\int_0^1f_n'g\to0} pour toute {g\in C^1([0,1])}.

Que dire de {f} ?

2) Pour {x\in\mathbb{R}}, calculer {\sum\limits_{n\ge1}\cos(nx)/n^2}.

Montrer que {\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(1-(1-e^{-n})^x\bigr)\sim\log x \qquad(x\to+\infty).}

a) montrer qu'il existe un unique polynôme {T_n} de degré {n} tel que {T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)}. Soit {(a_n)_{n\ge0}} positive ou nulle et sommable.

b) Pour {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}a_nT_{3^n}(x)} :

i) montrer que {f} est continue ;

ii) montrer que sa distance à {\mathbb{R}_{3^n}[X]} vaut {\sum\limits_{k\ge n+1}a_k}. Indication : considérer {x_k=\cos(\pi(1+k3^{-n-1}))}, {0\le k\le3^{n+1}}.

Soient {(a_n),(b_n)} réelles et {f_n(x)=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)}.

Si {f_n} converge simplement sur {\mathbb{R}}, montrer {a_n,b_n\to0}.

a) Montrer que {g_t} est continue.

b) Montrer que {g_n(x)} croît vers {f(x)} pour chaque {x}.

c) Montrer que la convergence est uniforme.

Pour {f\in C([-1,1],\mathbb{R})}, montrer que {g(x)=\inf_{y\in[-1,1]}(f(y)+|x-y|)} est {1}-lipschitzienne.

Montrer que {f} est limite uniforme de fonctions lipschitziennes.

1) Si {f_n'-f_n} converge uniformément et {f_n(0)} converge, montrer la convergence uniforme de {f_n}.

2) Même question si {f_n''-f_n} converge uniformément et si les deux suites {f_n(0),f_n(1)} convergent.

Soient {a_1\lt \cdots\lt a_p} et {f_n(x)=\sum\limits_{i=1}^p\lambda_{i,n}e^{a_ix}}.

Montrer que la convergence simple sur un segment {[a,b]} implique la convergence uniforme.

Le résultat demeure-t-il vrai avec une infinité de {a_i}, lorsque chaque {f_n} est une combinaison finie ?

Soit {f(x)=\prod\limits_{n=0}^{\infty}(1-x^{2^n})} sur {[0,1[}.

Montrer que {f} est continue, {C^1}, puis {C^\infty}.

Poser {f(1)=0} et étudier sa continuité et ses dérivées de tout ordre en {1}.

1) Montrer leur indépendance linéaire équivalente à l'existence de {x_1,\ldots,x_n} rendant {(f_i(x_j))} inversible.

2) Montrer que toute limite simple d'éléments de {E=\operatorname{Vect}(f_1,\ldots,f_n)} appartient à {E}.

3) La convergence est-elle uniforme ?

Sur {A=\mathbb{Q}\cap[0,1]}, existe-t-il une suite de fonctions continues {f_n:A\to A} convergeant simplement vers une fonction continue en aucun point ? La convergence peut-elle être uniforme ?

Soit {E} l'ensemble des fonctions continues {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telles que {|f(x+y)-f(x)-f(y)|\le M} pour une constante {M}.

Montrer que {E} est un espace vectoriel contenant les fonctions linéaires et les fonctions continues bornées.

Pour {g_n(x)=2^{-n}f(2^nx)}, montrer la convergence uniforme vers une fonction linéaire et en déduire une décomposition unique de {f} en fonction linéaire et fonction bornée.

1) Si {f_n\in C^1} et les {f_n'} sont uniformément bornées, montrer que la convergence est uniforme.

2) Même question si {f_n\in C^k}, {k\ge1}, et seules les dérivées d'ordre {k} sont uniformément bornées.

1) Déterminer la limite simple {f}.

2) Montrer qu'il existe {C>0} tel que {|f_n(x)-f(x)|\le C/\sqrt n} pour tous {x\ge0} et {n\ge1}.

Poser {F(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^kx^{2^k}}.

Déterminer son domaine et une relation entre {F(x)} et {F(x^2)}.

Pour {G(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty x^{4^k}(1-x^{4^k})}, montrer la convergence sur {]0,1[} et trouver une relation entre {F} et {G}.

Pour {\alpha>0}, étudier la convergence simple sur {\mathbb{R}} de {\sum\limits_{n\ge1}\sin(nx)/n^\alpha}, puis sa convergence uniforme.

1) Montrer que {g} est définie et continue sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}.

2) Montrer qu'elle est {1}-périodique.

3) Établir une relation entre {g(x/2)}, {g((x+1)/2)} et {g(x)}.

4) En déduire {g(x)=\pi\cot(\pi x)}.

1) Montrer que tout intervalle non trivial contient un {x} où {\sum\limits a_n\cos(nx)} ne converge pas absolument. On pourra utiliser les sommes {\sum\limits_{n=0}^Ma_n\cos^2(nx)}.

2) Existe-t-il des exemples de convergence sur un intervalle non trivial ?

Soit {P(x)=\sum\limits_{k=1}^na_k\sin(kx)} avec {a_k\in\mathbb{R}}. On suppose que {(-1)^rP^{(2r)}} est positive ou nulle sur {[0,\pi]} pour tout {r\ge0}.

Montrer que {P(x)=a_1\sin x}.

1) Pour {p\in\mathbb{R}}, calculer {\sup_{x\in\mathbb{Q}}(xp-x^2/2)}.

2) Soit {F\subset\mathbb{R}^\Omega} un sous-espace contenant les constantes, stable par maximum de deux fonctions et par limites simples de suites.

Montrer que {f,g\in F} implique {fg\in F}.

On admet la convergence uniforme des polynômes de Bernstein {B_n(f)=\sum\limits_{k=0}^n\binom nkf(k/n)x^k(1-x)^{n-k}} vers toute fonction continue {f} sur {[0,1]}.

Déterminer quand {f} est limite uniforme de polynômes à coefficients entiers.

Soient {f_n(z)=\sum\limits_{k\ge0}a_{k,n}z^k} de rayons au moins {1}. Supposons que {(f_n)} converge simplement sur le disque unité fermé et que {|f_n(z)|\le M} uniformément sur ce disque.

Montrer la convergence uniforme sur chaque disque {|z|\le r\lt 1}.

Soient {f_n\in C^3(\mathbb{R},\mathbb{R})} avec {\sup_n\lVert f_n^{(3)}\rVert_\infty=c\lt \infty} et {\lVert f_n\rVert_\infty\to0}.

Montrer {\lVert f_n'\rVert_\infty\to0} et {\lVert f_n''\rVert_\infty\to0}.

a) Montrer que {T(f)=\sum\limits_{n\ge0}f_n} définit un endomorphisme de {C^\infty}.

b) Exprimer {T(f)} en fonction de {f}.

c) Étudier son injectivité et sa surjectivité.