Montrer {C(P)C(Q)C(P)=\langle U,V\rangle^2C(P)}.

Montrer que {\sum_{i=1}^m\langle u_i,x\rangle\langle x,p(v_i)\rangle =\lVert p(x)\rVert^2.}

Montrer que {A} est inversible et que {\sup_{\lVert x\rVert_1=1}\lVert A^{-1}x\rVert_2\le1/\varepsilon}.

Montrer que cette famille est libre si et seulement s’il existe une forme linéaire {f} sur {E} telle que {f(e_i)>0} pour tout {i}.

Montrer qu’il existe un espace préhilbertien {E} et une application {f:\mathbb{R}^n\to E} tels que {\langle x,x'\rangle^m=\langle f(x),f(x')\rangle_E} pour tous {x,x'}.

Pour {A,B\in S_n(\mathbb{R})}, montrer que {\inf_{\lVert G\rVert=1}\lVert AG-GB\rVert =\min_{(\lambda,\mu)\in\operatorname{Sp}(A)\times\operatorname{Sp}(B)} |\lambda-\mu|.}

Montrer que {\lVert F(x_n)-x_n\rVert\le2\lVert x_1-x^\star\rVert/\sqrt n}.

Déterminer les {n\ge1} pour lesquels il existe {F_n\subset\mathbb{R}^d} de cardinal {n} tel que toute partie {G} de {F_n} s’écrive {\left\{x\in F_n:\langle\omega,x\rangle+b>0\right\}} pour un {\omega\ne0} et un {b\in\mathbb{R}}.

Si {\delta>0} vérifie {\delta\le\min_{i\ne j}\Delta(t_i-t_j)}, montrer {\sum\limits_r|f(t_r)|^2\le(2N\pi+\delta^{-1})\sum\limits_k|x_k|^2}. Indication : montrer {|g(a)|\le(2h)^{-1}\int_{a-h}^{a+h}|g(t)|\,dt+\frac12\int_{a-h}^{a+h}|g'(t)|\,dt} pour {g\in C^1} et {h>0}.

Calculer {\int_C\langle Ax,x\rangle\,dx}, où {C} est le cercle de centre {x_0} et de rayon {r}.

Montrer que {M=(\langle X^i,X^j\rangle)_{0\le i,j\le n}} est inversible.

Donner un exemple et montrer que la famille est génératrice.

Déterminer les {x\in\mathbb{R}^p} qui minimisent {\lVert Ax-b\rVert}.

Montrer {AC^2\lt AB^2+BC^2}.

Montrer que tout triangle {A_1A_2A_3} avec {A_i\in d_i} a ses trois angles aigus.