Soient {P_1,\ldots,P_r\in M_n(\mathbb{R})} tels que {P_iP_j=\delta_{ij}P_i}, {\sum\limits P_i=I}, et {A=\sum\limits\lambda_iP_i}, les {\lambda_i} étant distincts.

Montrer que toute matrice {B} s’écrit {B=\sum\limits_iP_iBP_i+AK-KA}.

Soient {n} impair et {A,B\in M_n(\mathbb{R})} commutant.

Montrer que {A+iB} admet un vecteur propre réel.

Soient {G_n=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n}, {V=\mathcal F(G_n,\mathbb{R})} et {v_x=\mathbf1_{\left\{x\right\}}}. Deux points sont voisins s’ils diffèrent en une seule coordonnée, et {\psi(v_x)=\sum\limits_{y\sim x}v_y}.

Déterminer {\dim V}, montrer que {\psi} est diagonalisable et que les morphismes {G_n\to\mathbb{R}^\star} sont des vecteurs propres.

Question 1) Toute combinaison linéaire est diagonalisable.

Question 2) Une et une seule des propriétés suivantes est vraie : toute combinaison non nulle possède deux valeurs propres réelles distinctes ; les deux matrices sont codiagonalisables.

Question 3) Il existe {S\in S_2^{++}(\mathbb{R})} telle que {SA} soit symétrique pour toute combinaison linéaire {A}.

Pour un {n}-uplet de points du plan, {n\geq3}, remplacer cycliquement chaque {A_i} par le milieu de {[A_i,A_{i+1}]}.

Étudier la convergence des itérés, puis faire de même avec {B_i=\alpha A_i+(1-\alpha)A_{i+1}}, {0\lt \alpha\lt 1}.

Une matrice réelle de rang {1} et de trace non nulle est-elle diagonalisable sur {\mathbb{R}} ?

Si {A\in M_n(\mathbb{C})} est diagonalisable, montrer que {C_A:X\mapsto AX-XA} l’est aussi.

Soit {M\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})} dont les valeurs propres ont toutes un module au plus {1}.

Montrer qu’il existe {k\ge1} tel que {M^k-I} soit nilpotente.

Question a) Déterminer ses valeurs propres et multiplicités.

Question b) Pour {A} symétrique définie positive, construire une racine carrée symétrique définie positive {B}.

Question c) Que dire de {BJB} ?

Question d) Si {A} est diagonale, déterminer les valeurs propres de {JA}.

Question e) Montrer que toute valeur propre d’une matrice réelle antisymétrique est imaginaire pure.

Soit {\mathcal A} une sous-algèbre de {M_n(\mathbb{C})} telle que, pour tout {v\ne0}, {\left\{Mv:M\in\mathcal A\right\}=\mathbb{C}^n}.

Montrer {\mathcal A=M_n(\mathbb{C})}.

Déterminer l’image de {\varphi:M\in M_2(\mathbb{C})\longmapsto \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}M^{2n+1}.}

À quelle condition sur la matrice {A}, la comatrice de {A} est-elle diagonalisable ?

Question 1) Montrer que {c_i(AB)=c_i(BA)} pour toutes {A,B\in M_n(\mathbb{C})}.

Question 2) Le résultat reste-t-il valable sur un corps {K} quelconque ?

Question 1) Donner une expression simple de {\det S}. On pourra calculer {S^2}.

Question 2) On pose {G_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}e^{2ik^2\pi/n}}.

Donner une expression simple de {|G_n|^2} par un calcul direct.

Question 3) On suppose {n} impair.

Déterminer le spectre de {S} et la multiplicité de chacune de ses valeurs propres.

Question 1) Montrer que {P_i} est le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit par {A} sur {\ker P_i(A)}.

Question 2) Montrer qu’il existe {D} diagonalisable et {N} nilpotente telles que {A=D+N} et {ND=DN}.

Question 3) Pour {X\in M_n(\mathbb{C})}, on note {\operatorname{Comm}_X:M\mapsto MX-XM}.

Montrer que {\operatorname{Comm}_A=\operatorname{Comm}_D+ \operatorname{Comm}_N}, que ces deux derniers endomorphismes commutent et sont respectivement diagonalisable et nilpotent.

Question 1) Si {\alpha\beta\ne1} pour tout {(\alpha,\beta)\in\operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(A)\times \operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(B)}, montrer que {(E)} admet une unique solution.

Question 2) Que se passe-t-il dans le cas général ?

Combien y a-t-il de classes de similitude de {M_{3n}(\mathbb{R})} constituées de matrices {M} telles que {M^3=0} ?

Déterminer les matrices {M\in M_n(\mathbb{R})} telles que {M} soit semblable à {2M}.

Question 1) Soient {A,B\in M_n(\mathbb{C})} diagonalisables.

À quelle condition existe-t-il {P\in GL_n(\mathbb{C})} tel que {PAP^{-1}} et {PBP^{-1}} soient diagonales ?

Question 2) Montrer que toute {A\in M_n(\mathbb{C})} s’écrit de manière unique {A=D+N}, avec {D} diagonalisable, {N} nilpotente et {DN=ND}.

Question 3) Soient {\pi_A=\prod\limits_{i=1}^r(X-\lambda_i)^{\beta_i}} le polynôme minimal de {A} et {P\in\mathbb{C}[X]}.

Montrer que {P(A)} est diagonalisable si et seulement si {P^{(j)}(\lambda_i)=0} pour {1\le i\le r} et {1\le j\le\beta_i-1}.

Question 1) Soient {u,v} deux endomorphismes diagonalisables d’un espace vectoriel {E} de dimension finie sur {K}, tels que {uv=vu}.

Montrer qu’ils sont codiagonalisables.

Question 2) Soit {u\in\mathcal L(E)}.

Montrer que {u} admet au plus une décomposition {u=d+n}, où {(d,n)\in K[u]^2}, {d} est diagonalisable, {n} nilpotent et {dn=nd}.

Question 1) Soit {A\in S_n(\mathbb{R})} à coefficients strictement positifs.

Montrer qu’il existe un vecteur propre de {A} dont tous les coefficients sont strictement positifs.

Question 2) Soit {A\in M_2(\mathbb{R})} à coefficients positifs ou nuls.

Montrer que {A} possède un vecteur propre à coefficients positifs ou nuls.

Question 3) Soient {a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{N}^\star} et {M_i=\begin{pmatrix}a_i&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}}.

Montrer que le spectre de {M_1\cdots M_n} est inclus dans {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}.

Soit {A\in GL_3(\mathbb{R})}.

Montrer que {A} est semblable à {A^{-1}} si et seulement s’il existe {B,C\in M_3(\mathbb{R})} avec {A=BC}, {B^2=C^2=I_3}.

Question a) Justifier sa diagonalisabilité et donner ses valeurs propres.

Question b) Donner une base orthonormée de vecteurs propres.

Question c) Caractériser les sous-espaces stables par {S}.

Question d) Pour {\omega=e^{2i\pi/n}} et {A=(\omega^{jk}/\sqrt n)_{1\le j,k\le n}}, calculer les puissances de {A} et en déduire sa diagonalisabilité.

Question e) Pour {n} impair, déterminer ses valeurs propres et leurs multiplicités.

Question a) Si {M\in M_n(\mathbb{C})} a {n} valeurs propres distinctes, montrer que toute matrice assez proche a encore cette propriété.

Question b) Pour {A=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}} et {B\in M_2(\mathbb{C})}, donner une condition pour que {A+\varepsilon B} ait deux valeurs propres distinctes pour tout {\varepsilon>0} assez petit.

Question c) Même question pour sa diagonalisabilité.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{C})} telles que {\operatorname{rg}(AB-BA)=1}.

Montrer qu’elles sont cotrigonalisables.

Soient {A\in M_n(\mathbb{C})}, {B\in M_k(\mathbb{C})}, {C\in M_{n,k}(\mathbb{C})} et {M=\begin{pmatrix}A&C\\[4pt]0&B\end{pmatrix}}.

Montrer que {M} est diagonalisable si et seulement si {A,B} le sont et il existe {X} tel que {C=AX-XB}.

Question a) Montrer qu’une matrice est semblable sur {K} à une matrice de Bourdaud si et seulement si elle est trigonalisable sur {K}.

Question b) Montrer qu’une matrice symétrique réelle est de Bourdaud si et seulement si elle est diagonale.

Question c) Toute matrice de Bourdaud complexe est-elle diagonalisable ?

Question d) Une matrice réelle est normale si {M^TM=MM^T}.

Déterminer celles qui sont normales et de Bourdaud.

Question a) Déterminer {M_1,M_2,M_3}.

Question b) Montrer la linéarité de {\varphi_{A,B}}.

Question c) Si {A,B} sont diagonalisables, montrer que {\varphi_{A,B}} l’est et donner son spectre.

Question d) Montrer que {f(x,y)=(e^x-e^y)/(x-y)} pour {x\ne y}, {f(x,x)=e^x}, est {C^\infty}.

Question e) Si {\varphi_{A,B}} est diagonalisable à valeurs propres toutes distinctes, montrer que {A,B} sont diagonalisables.

Question a) Montrer que c’est un sous-espace stable par le crochet.

Question b) Calculer les crochets de {X=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}}, {Y=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}}, {H=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}}.

Question c) Soit {\rho:\mathcal A\to M_n(\mathbb{C})} linéaire préservant les crochets.

Montrer que {\rho(H)} possède une valeur propre {\alpha}, puis que {\rho(X)E_\alpha\subset\ker(\rho(H)-(\alpha+2)I)} et {\rho(Y)E_\alpha\subset\ker(\rho(H)-(\alpha-2)I)}.

Question d) Si seuls {\left\{0\right\}} et {\mathbb{C}^n} sont stables par tous les {\rho(A)}, déterminer {\rho}.

Question a) Si {A,B} sont diagonalisables et commutent, montrer que tous les {A+\lambda B} sont diagonalisables.

Question b) Pour {n\ge2}, {MT(n,\mathbb{R})} est-elle vraie ?

Question c) Montrer {MT(2,\mathbb{C})}.

Question d) Pour {n\ge2}, {MT(n,\mathbb{F}_2)} est-elle vraie ?

Question e) Pour {p\ge3} premier, {MT(2,\mathbb{F}_p)} est-elle vraie ?

Quelle est l’image de {f:M\in M_2(\mathbb{C})\mapsto\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}M^{2n+1}} ?

Soient {u,v} deux endomorphismes autoadjoints positifs d’un espace euclidien.

Montrer que {v\circ u} est diagonalisable.

Soient {S\in S_n^{++}(\mathbb{R})} et {A\in A_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {SA} est diagonalisable sur {\mathbb{C}}.

1) Montrer que {C_k\ne\left\{(0,0)\right\}}.

2) Montrer que {(A,B)\in C_k} implique {(B^T,A^T)\in C_k}.

3) Montrer que {C_k\subset C_{k+1}}.

4) Montrer que {\sum_{\ell=j}^{k-i}(-1)^\ell\binom k\ell\binom\ell j\binom{k-\ell}i=0.}Indication : utiliser {\binom ab\binom bc=\binom ac\binom{a-c}{a-b}}.

5) Montrer que {(A-\lambda I,B-\lambda I)\in C_k} pour tout {\lambda\in\mathbb{C}} si {(A,B)\in C_k}.

6) Montrer que {A,B} ont les mêmes valeurs propres si {(A,B)\in C_k}.

a) Calculer {\varphi_f^n(g)}.

b) Montrer que {f^{n+1}g-gf^{n+1}=\sum_{k=0}^nf^k(fg-gf)f^{n-k}.}c) On suppose {f} non inversible.

Montrer que {f} est nilpotent si et seulement si {\varphi_f} l’est.

d) Montrer que, si {f} possède une unique valeur propre, {\varphi_f} est nilpotent.

Étudier la réciproque.

a) Si {A\in M_n(\mathbb{C})} est diagonalisable, montrer que {P(A)} est diagonalisable pour tout {P\in\mathbb{C}[X]}.

b) Décrire les matrices inversibles {P} telles que {P^{-1}AP} soit diagonale.

c) Soient {A,B} codiagonalisables, avec {B} à valeurs propres deux à deux distinctes.

Montrer qu’il existe {P\in\mathbb{C}[X]} avec {A=P(B)}.

d) Sans la condition de spectre simple sur {B}, montrer qu’il existe {C,P,Q} avec {A=P(C)}, {B=Q(C)}.

e) {\operatorname{diag}(-1,-4)} est-elle le carré d’une matrice réelle ?

a) Donner un exemple en dimension {2}.

b) Montrer que {f} n’a aucune valeur propre réelle et que {d} est pair.

c) Construire une base {(e_1,f(e_1),\ldots,e_p,f(e_p))} et donner la matrice de {f} dans cette base.

a) Montrer que {A^kB-BA^k=kA^k} pour {k\in\mathbb{N}}.

b) Poser {\varphi_B(M)=MB-BM}.

i) Vérifier que c’est un endomorphisme et caractériser son noyau.

ii) Montrer que, si {A^p\ne0}, {p} est une valeur propre de {\varphi_B}.

c) {A} est-elle nilpotente ?

Soit {A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{C})}.

Montrer que {\operatorname{Sp}(A)\subset\bigcup_{i=1}^n \left\{z\in\mathbb{C}:|z-a_{ii}|\le\sum_{j\ne i}|a_{ij}|\right\}.}

a) Montrer qu’elles ont toutes une valeur propre commune.

b) Montrer que {S} est convexe, fermé, borné et stable par produit.

c)

i) Montrer que {\operatorname{Sp}A\subset\left\{|z|\le1\right\}}.

ii) Si {|\lambda|=1}, montrer que {\lambda^\ell=1} pour un {\ell\le n}.

d) Supposer tous les coefficients de {A} strictement positifs.

i) Montrer que {\dim\ker(A-I)=1}.

ii) Montrer que les autres valeurs propres ont un module {\lt 1}.

e) Une matrice {B} vérifie {(P)} si ses coefficients sont positifs ou nuls et ses sommes de lignes au plus {1}.

i) Montrer que {|\det B|\le1}.

ii) Déterminer celles qui vérifient aussi {|\det B|=1}.

iii) En déduire les matrices stochastiques dont le déterminant a module {1}.

a) On note {\varphi:M\mapsto M^T} sur {\mathcal M_n(\mathbb{R})}.

i) Montrer que {\varphi} est un automorphisme.

ii) Déterminer ses valeurs propres.

iii) Est-elle diagonalisable ?

b) On fixe {\mu>0} et {f(t)=(4\mu t^2,2\mu t)}. Les tangentes à la courbe en {f(t_0)} et {f(t_1)} sont orthogonales.

i) Montrer que {4t_0t_1+1=0}.

ii) Montrer que leur point d’intersection appartient à une droite fixe.

c) Soient {Q\in O_n(\mathbb{R})} et {X,Y\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb{R})}.

i) Montrer que {(QX)^T(QY)=X^TY}.

ii) Déterminer les valeurs propres réelles de {Q} et montrer que deux vecteurs propres associés à des valeurs propres réelles distinctes sont orthogonaux.

d) Soit {M\in O_2(\mathbb{R})} diagonalisable sur {\mathbb{R}}.

Montrer qu’à similitude près {M} peut prendre exactement trois formes.

Donner les transformations géométriques correspondantes.

Résoudre {X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}} dans {M_2(\mathbb{R})}.

1) Pour {f\in\mathcal L(\mathbb{C}^n)}, montrer que {f} est diagonalisable si et seulement si {f^2} l’est et {\ker f=\ker f^2}.

2) Pour {f\in\mathcal L(\mathbb{R}^n)} avec {f^2} diagonalisable, donner une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité de {f}.

3) Pour la matrice antidiagonale {A}, dont les coefficients antidiagonaux sont {a_n,\ldots,a_1} de haut en bas, donner les conditions sur {\mathbb{C}}, puis sur {\mathbb{R}}.

1) Montrer sa linéarité ; est-elle injective, surjective ?

2) Trouver {G} linéaire tel que {FG=I} ; calculer {GF}.

On prend ensuite {E=\mathbb{R}^{\mathbb{Z}}} et {F(u)_n=u_{n+1}+u_{n-1}}.

3) Montrer sa linéarité ; est-elle injective ?

4) Pour {\lambda\in\mathbb{R}}, trouver une matrice {M_\lambda} telle que {u\in\ker(F-\lambda I)} équivaille à {(u_k,u_{k+1})^t=M_\lambda^k(u_0,u_1)^t} pour tout {k\in\mathbb{Z}}.

En déduire la dimension de cet espace propre.

5) Pour {|\lambda|\ne2}, diagonaliser {M_\lambda} sur {\mathbb{C}}.

6) Dans ce cas, existe-t-il des suites propres périodiques non nulles ?

7) Traiter {|\lambda|=2}.

1) Pour {A=\begin{pmatrix}a&c\\[4pt]0&b\end{pmatrix}}, calculer {\rho(A)}, caractériser sa diagonalisabilité, calculer {A^k} et caractériser la convergence de {\sum\limits_{k\ge0}A^k}.

2) Montrer en général que cette série converge si et seulement si {\rho(A)\lt 1}.

3) Si {\rho(A)\rho(B)\lt 1}, montrer que {ADB-D=C} possède une solution {D}.

1) Pour {U} unipotente, déterminer son spectre et calculer son inverse.

2) Si {A} est réelle, montrer que {D_0,N_0} le sont.

3) Si {A} est inversible, montrer que {D_0} l’est.

Montrer qu’il existe un unique couple {(D,U)} tel que {A=DU=UD}, avec {D} diagonale et {U} unipotente.

Si {A} est réelle, montrer que {D,U} le sont.

1) Montrer que {B} diagonalisable implique {e^B} diagonalisable.

2) Pour {A} diagonalisable de valeurs propres distinctes {\mu_1,\ldots,\mu_r}, construire {Q\in\mathbb{C}[X]} avec {Q(\mu_j)=e^{\mu_j}} et montrer {Q(A)=e^A}.

3) Pour {C=\operatorname{diag}(-1,-2,\ldots,-d)}, montrer qu’elle est inversible.

Montrer que {\lambda\in\operatorname{Sp}(M)} implique {e^\lambda\in\operatorname{Sp}(e^M)}.

Montrer qu’aucune matrice réelle {M} ne vérifie {e^M=C}.

Que peut-on dire de l’application exponentielle réelle ?

Soit {f:M_2(\mathbb{R})\to M_2(\mathbb{R})} défini par {f\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c&a\\[4pt]d&b\end{pmatrix}.}Déterminer son spectre et sa diagonalisabilité sur {\mathbb{R}}, puis sur {\mathbb{C}}.

a) Montrer que {A=A^++A^-} de manière unique, avec {A^+} symétrique et {A^-} antisymétrique.

b) Montrer que {\langle Ax,x\rangle=\langle A^+x,x\rangle}. Notons {\lambda_1,\ldots,\lambda_\ell} les valeurs propres de {A^+} et {E_i} les espaces propres associés. On suppose que {A} commute avec {A^+}.

c) Montrer que {E_i} est stable par {A} et par {A^-}.

d) Si {\mu\in\operatorname{Sp}(A)} et {F_\mu} est son espace propre, montrer que {\mu=\lambda_j} et {F_\mu\subset E_j} pour un {j}.

e) Si {\dim E_i=1}, montrer que {\lambda_i\in\operatorname{Sp}(A)} et {E_i\subset\ker A^-}.

f) Montrer que si {A} est diagonalisable, elle est symétrique.

a) On suppose {A} diagonalisable.

i) Montrer que {u} est diagonalisable.

ii) Montrer que {\operatorname{tr}u=(\operatorname{tr}A)^2}.

iii) Montrer que {S_n(\mathbb{R})} est stable et que la restriction {u_S} a pour trace {\frac12(\operatorname{tr}(A^2)+(\operatorname{tr}A)^2)}.

b) On suppose {A^m=I_n} pour un entier {m\ge1}.

i) Montrer que {A} est diagonalisable sur {\mathbb{C}}.

ii) Montrer qu’il existe des entiers {r,s} avec {r+2s\le n}, et des entiers {k_1\le\cdots\le k_s}, tels que {\operatorname{tr}A=r+2\sum_{i=1}^s\cos(2k_i\pi/m).}iii) Montrer que {\left\{A^k:k\in\mathbb{N}\right\}} est fini.

iv) Si {N} est son cardinal, montrer que {\operatorname{tr}u=N^{-1}\sum\limits_{k=1}^N\operatorname{tr}(A^k)}.

1) Si {A,B} sont diagonalisables, montrer que {\Delta} est diagonalisable et déterminer son spectre.

2) Si {A,B} sont nilpotentes, montrer que {\Delta} est nilpotente et déterminer son indice en fonction de ceux de {A,B}.

a) Quel est son spectre ?

b) Déterminer la limite de {(M^n)}.

a) {D} est-il injectif ? Surjectif ?

Déterminer ses valeurs propres et vecteurs propres.

b) Poser {F=\left\{u\in E:\sum\limits_nu_n^2\lt \infty\right\}}, muni du produit scalaire {\langle u,v\rangle=\sum\limits_nu_nv_n}.

Montrer que {F} est stable par {D}, puis déterminer {H=\left\{\frac{\langle u,Du\rangle}{\lVert u\rVert^2}:u\in F\setminus\left\{0\right\}\right\}.}

Déterminer {X\in M_2(\mathbb{R})} tel que {X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}}.

Caractériser les matrices nilpotentes de {M_n(\mathbb{R})} d’indice {n-1}.

Soient {A_1=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}} et {A_{n+1}=\begin{pmatrix}A_n&I_{2^n}\\[4pt]I_{2^n}&A_n\end{pmatrix}}.

Montrer que {A_n} a {n+1} valeurs propres distinctes {\lambda_0\lt \cdots\lt \lambda_n}, de multiplicités {\binom nk}.

1) Montrer que toute matrice symétrique positive a une racine carrée.

2) Montrer qu’une matrice réelle {A} est diagonalisable sur {\mathbb{R}} si et seulement s’il existe {S} symétrique définie positive avec {SA=A^tS}.

Pour {n\ge1}, montrer qu’il existe un nombre fini de polynômes réels {P_1,\ldots,P_k}, qui ne sont pas des monômes, tels que, pour toute {A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})}, au moins une des matrices {P_i(A)} soit inversible.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})} sans valeur propre complexe commune.

Montrer que {\Phi:M\mapsto AM-MB} est un automorphisme de {M_n(\mathbb{R})}.

Caractériser les {M\in M_2(\mathbb{R})} pour lesquelles il existe {X\in\mathbb{R}^2} tel que {\lVert M^nX\rVert\to+\infty}.