Nombres réels ou complexes — ENS

Exercices corrigés des ENS sur le thème « nombres réels ou complexes », regroupés par filière.

MP–MPI

Exercice 1. (★★) Partie entière ; Sommes partielles ; Principe des tiroirs

Soient

{n\ge1}

{x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}}

Montrer qu’il existe ${m\in\mathbb{Z}}$ et une partie non vide ${S\subset\left\{1,\ldots,n\right\}}$ tels que ${\left|m-\sum_{i\in S}x_i\right|\le\frac1{n+1}.}$

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Exercice 2. (★★★) Racines de l'unité ; Coefficients constants ; Limites

Pour quelles valeurs de

{n\in\mathbb{N}}

toute solution réelle sur

{\mathbb{R}}

{\sum\limits_{k=0}^ny^{(k)}=0}

possède-t-elle une limite à

{+\infty}

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Exercice 3. (★★★) Identités trigonométriques ; Dérivation composée ; Fonctions constantes

Soient

{x,y\in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})}

tels que

{x'(t)=\sin y(t)}

{y'(t)=\cos x(t)}

Question 1) Montrer que

{\sin x(t)+\cos y(t)}

est constante.

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Question 2) Poser

{\varphi(t)=(x(t)+y(t)-\pi/2)/2}

Montrer que les points ${(\sin\varphi(t),\varphi'(t))}$ sont sur un même cercle et déterminer son rayon.

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Exercice 4. (★★★) Inégalités ; Polynômes symétriques ; Factorisation

Pour

{x,y,z\ge0}

, démontrer

{(x+y+z)^3+9xyz\ge4(x+y+z)(xy+yz+zx)}

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Exercice 5. (★★★★) Module et argument ; Exponentielle complexe ; Valeurs intermédiaires

Question a) Pour

{a,b\in\mathbb{R}}

{|b|\lt \pi}

, montrer qu’il existe

{z\in\mathbb{C}}

avec

{z+e^z=a+ib}

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Question b) Montrer que

{z\mapsto ze^z}

est surjective de

{\mathbb{C}}

sur

{\mathbb{C}}

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PSI

Exercice 1. (★★★★) Partie entière ; Irrationalité ; Périodicité

1) Montrer que

{\sqrt2\notin\mathbb{Q}}

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2) Montrer que

{f(x)=\sin(2\pi x)+\sin(2\pi\sqrt2x)}

n’est pas périodique.

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3) Pour

{q\ge1}

, déterminer

{p\in\mathbb{N}}

tel que

{0\lt p-\sqrt2q\lt 1}

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4) Par le principe des tiroirs, montrer que, pour tout

{n\ge1}

, il existe

{p,q\in\mathbb{N}}

tels que

{0\lt |p-\sqrt2q|\lt 1/n}

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5) Pour

{\varepsilon>0}

, montrer qu’il existe une infinité de tels couples avec

{0\lt |p-\sqrt2q|\lt \varepsilon}

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6) Posons

{N_\varepsilon=\left\{q\ge1:\exists p\in\mathbb{N},\ |p-\sqrt2q|\lt \varepsilon\right\}}

Montrer qu’il existe ${\ell\in\mathbb{N}}$ tel que tout intervalle entier ${\left\{n,\ldots,n+\ell\right\}}$ rencontre ${N_\varepsilon}$ .

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PC

Exercice 1. (★★★★) module et argument ; racines de l’unité ; sommes et produits

Pour

{n\ge1}

, calculer le module de

{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\exp(2i\pi k^2/n)}

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