Donner une fonction réelle continue en tout irrationnel et discontinue en tout rationnel.

Question 1) Rappeler Taylor avec reste intégral et l’inégalité de Taylor-Lagrange.

Question 2) Si {f\in C^n(\mathbb{R})} et {f,f^{(n)}} sont bornées, montrer que les dérivées intermédiaires le sont.

Question 3) Pour {n=2}, montrer {\lVert f'\rVert_\infty\leq\sqrt{2\lVert f\rVert_\infty\lVert f''\rVert_\infty}}.

Question 4) Montrer {\lVert f^{(k)}\rVert_\infty\leq2^{k(n-k)/n}\lVert f\rVert_\infty^{(n-k)/n}\lVert f^{(n)}\rVert_\infty^{k/n}}.

Question 1) Montrer {x_n\lt x_{n+1}}.

Question 2) Montrer {x^nf^{(n)}(x)\to0} quand {x\to0^+}.

Question 3) Pour {g=f/x}, expliciter {g^{(n)}} en fonction des dérivées de {f} et montrer {(-1)^ng^{(n)}>0}.

Soit {f\in C^1([0,1],\mathbb{R})} avec {(f(x),f'(x))\ne(0,0)} pour tout {x}.

Déterminer {\lim_{\delta\downarrow0}\delta^{-1}\int_0^1\mathbf1_{|f(t)|\lt \delta}|f'(t)|\,dt}.

Soit {f(x)=0} pour {x} irrationnel et {f(p/q)=1/q} pour {p/q} irréductible, {q>0}.

Déterminer ses points de continuité.

Soit {f} dérivable sur un intervalle ouvert contenant {[a,b]}, {a\lt b}, avec {f'(a)=f'(b)}.

Montrer qu’une tangente en un point {c\in(a,b)} passe par {(a,f(a))}.

Construire une fonction continue sur {\mathbb{R}} qui ne soit dérivable en aucun point.

Question a) {f(x)=\sin(x^2)/x} est-elle uniformément continue sur {[1,\infty)} ?

Question b) Si {f\in C^1(\mathbb{R}_+)} a une limite finie et {f'} est uniformément continue, {f'} a-t-elle une limite ?

Question a) Montrer que {W_r(gf_1,\ldots,gf_r)=g^rW_r(f_1,\ldots,f_r)}.

Question b) Si tous les {W_k(f_1,\ldots,f_k)} ne s’annulent pas, montrer que toute combinaison linéaire non nulle a au plus {r-1} zéros.

Question c) Si {W_r=0} identiquement mais {W_{r-1}} ne s’annule pas, montrer que les {f_j} sont liées.

Question a) Soit {f:[a,b]\to[a,b]}.

i) Si {f} est continue, montrer qu’elle a un point fixe.

ii) Même question si {f} est croissante.

Question b) Montrer que les discontinuités d’une fonction monotone {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} forment un ensemble au plus dénombrable.

Question c) Construire une fonction monotone dont cet ensemble soit exactement {\mathbb{Q}}.

Trouver toutes les fonctions {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} croissantes, à valeurs dans {[0,1]}, continues à droite, de limites {0} en {-\infty} et {1} en {+\infty}, telles que pour tout entier {k\ge1} il existe {b_k\in\mathbb{R}} avec {f(x)^k=f(x+b_k)} pour tout {x}.

Soit {E} l’ensemble des fonctions croissantes de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}, de limites {0} et {1} aux deux infinis. Soient {F,G,H\in E}, {G,H} continues. Si {F(a_nx+b_n)\to G(x)} et {F(c_nx+d_n)\to H(x)} pour tout réel {x}, montrer qu’il existe {\lambda>0}, {\mu\in\mathbb{R}} avec {H(x)=G(\lambda x+\mu)}.

1) Montrer qu’une fonction continue de {[0,1]} dans {[0,1]} possède un point fixe.

2) Montrer qu’une fonction croissante de {[0,1]} dans {[0,1]} possède aussi un point fixe, sans hypothèse de continuité.

1) Si {f'(x)\to0}, {f} a-t-elle nécessairement une limite finie ?

2) Si {f(x)\to0}, a-t-on nécessairement {f'(x)\to0} ?

3) Si {f(x)\to a} et {f'(x)\to b}, avec {a,b} réels, montrer que {b=0}.

4) Si {f(x)+f'(x)\to a\in\mathbb{R}}, déterminer les limites de {f,f'}.

5) Pour {n\ge2} et {f\in\mathcal C^n(\mathbb{R})}, la condition {\sum\limits_{k=0}^n f^{(k)}(x)\to a} implique-t-elle que toutes les dérivées jusqu’à l’ordre {n} ont des limites finies ? Traiter {n=2} et {n\ge3}.

Soient {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} dérivable et {\ell\in\mathbb{R}}. On suppose {f(x)+f'(x)\to\ell} en {+\infty}.

Étudier les limites de {f} et {f'}.

Soit {f\in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})}, {p\in\mathbb{N}} et {x\in\mathbb{R}} avec {f^{(p)}(x)\ne0}.

Montrer que, pour tout {0\le\ell\le p} et tout {\varepsilon>0}, il existe {a\lt b} avec {\max(|x-a|,|x-b|)\le\varepsilon} tels que {f^{(\ell)}} ne s’annule pas sur {]a,b[}.

Soit {g:[0,+\infty[\to\mathbb{R}} de classe {C^2} telle que {g(0)=g'(0)=0} et {g''(0)>0}. Pour {\lambda>0}, on pose {A_\lambda=\left\{x>0:g(x)=\lambda x\right\}}.

Montrer qu’il existe {\mu>0} tel que {A_\lambda\ne\varnothing} pour tout {\lambda\in]0,\mu]}.

Soient {f:[0,1]\to\mathbb{R}} continue par morceaux et {g:[0,1]\to\mathbb{R}} continue. On suppose que {f+g} est croissante.

Montrer que {f([0,1])} est un intervalle.

Trouver toutes les fonctions {f\in C^2(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que {f(t)^2=f(t\sqrt2)} pour tout {t\in\mathbb{R}}.

Soit {f\in C^1(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})} ne prenant pas les valeurs {0} et {1}.

On suppose {f'(x)=\frac1{f(x)}+\frac1{f(x)-1}\quad(x\ge0).}Déterminer la limite de {f} en {+\infty}.

1) Montrer que {A(\lambda)\ne\varnothing} pour {\lambda>0} assez petit.

2) Posons {\lambda^\star=\sup\left\{\lambda>0:A(\lambda)\ne\varnothing\right\}}, éventuellement infinie.

Montrer que {A(\lambda)\ne\varnothing} pour {0\lt \lambda\lt \lambda^\star}.

3) Quand cela est défini, posons {X_\lambda=\inf A(\lambda)}.

Montrer que {X_\lambda\ne0}.

4) La fonction {h:\lambda\mapsto X_\lambda} est-elle nécessairement continue sur {]0,\lambda^\star[} ?

5) Montrer qu’elle est continue au voisinage de {0}.

a) {f(xy)=f(x)+f(y)} ;

b) {f(xy)=f(x)f(y)}.

Soit {f\in C^2(\mathbb{R},\mathbb{R}_+)} dont la dérivée seconde est bornée.

Montrer qu’il existe {C\in\mathbb{R}} tel que {(f'(x))^2\le Cf(x)} pour tout {x}.