Pour {\sigma\in\mathfrak S_n}, notons {\varepsilon(\sigma)} sa signature et {\nu(\sigma)} son nombre de points fixes.

Calculer {\sum\limits_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon(\sigma)/(\nu(\sigma)+1)}.

Calculer le déterminant de la matrice circulante {C=(X_{i-j\bmod n})_{0\leq i,j\lt n}}. On admet la factorisation unique dans {\mathbb{C}[X_0,\ldots,X_{n-1}]}.

Pour {\sigma\in\mathfrak S_n}, soit {P_\sigma} sa matrice de permutation et {D_n} l'ensemble des diagonales unitaires. L'ensemble {G=\left\{P_\sigma DP_\sigma:\sigma\in\mathfrak S_n,D\in D_n\right\}} est-il un sous-groupe de {GL_n(\mathbb{C})} ?

Pour {a_0,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb{C}}, calculer {\det(a_{i+j-2\bmod n})_{1\leq i,j\leq n}}.

Calculer le déterminant de la circulante de première ligne {(a_1,a_2,\ldots,a_n)} et de deuxième ligne {(a_n,a_1,\ldots,a_{n-1})}.

Question 1) Montrer qu'une matrice antisymétrique réelle de taille impaire est singulière.

Question 2) Pour {n} pair, montrer que son déterminant est le carré d'un polynôme en ses coefficients strictement au-dessus de la diagonale.

Les coefficients {A_{ij}} d'une matrice aléatoire sont indépendants, de loi de Bernoulli de paramètre {1/2}.

Calculer {\mathbb E(\det(A-A^T))}.

Question a) Montrer que {(1\ 2)} et {(1\ 2\ \cdots\ n)} engendrent {\mathfrak S_n}.

Question b) {(1\ 3)} et {(1\ 2\ 3\ 4)} engendrent-ils {\mathfrak S_4} ?

Question c) Si {(a\ b)} et {(1\ 2\ \cdots\ n)} engendrent {\mathfrak S_n}, montrer que {\gcd(b-a,n)=1}.

Question d) Montrer la réciproque.

Si {A,B,C,D\in M_n(\mathbb{R})}, {A} est inversible et {AB=BA}, montrer que {\det\begin{pmatrix}A&B\\[4pt]C&D\end{pmatrix}=\det(DA-CB).}

Question a) Pour {\deg U\lt a}, {\deg V\lt b}, poser {F_{A,B}(U+X^aV)=BU+AV}.

Montrer que {\det F_{A,B}=\mu_{A,B}}.

Question b) Montrer que {\mu_{B,A}=(-1)^{ab}\mu_{A,B}}.

Question a) Montrer que la matrice tridiagonale de diagonale {(a_i)} et de sous-diagonale et sur-diagonale égales à {1} est inversible, avec un déterminant de même signe que {\prod\limits_i a_i}.

Question b) Même question si les coefficients voisins ont un module au plus {1}.

Question a) Montrer que {\sum\limits_i|\lambda_i|^2\le\sum\limits_{i,j}|a_{ij}|^2}.

Question b) Montrer que {|\det A|\le n^{n/2}\sup_{i,j}|a_{ij}|}.

Soient {f_i,g_i\in C([0,1],\mathbb{R})} et {A_{ij}=\int_0^1f_i(x)g_j(x)\,dx}.

Poser {B(x)=\det(f_i(x_j))}, {C(x)=\det(g_i(x_j))}.

Montrer que {\int_{[0,1]^n}BC=n!\det A}.

Si {M(0)=I} et {M'(t)=A(t)M(t)} avec {A} continue sur {\mathbb{R}_+}, montrer que {\det M(t)=\exp(\int_0^t\operatorname{tr}A(s)\,ds)}.

Pour {\sigma\in\mathfrak S_n}, poser {d(\sigma)=\sum\limits_{k=1}^n|\sigma(k)-k|} et {q_{n,p}=\#\left\{\sigma:d(\sigma)=p\right\}}.

Montrer que {q_{n,p}} est pair si {p\ge2n}.

Question 1) pour toute permutation impaire {\sigma}, {\sigma\cdot S=E_*^3\setminus S} ;

Question 2) pour tous {a,b,c,d\in E}, si {(a,b,c)\in S} et {(a,c,d)\in S}, alors {(a,b,d)\in S} et {(b,c,d)\in S}.

Montrer qu'il existe une injection {g:E\to\mathbb{R}} telle que {g(a)\lt g(b)\lt g(c)\Longrightarrow(a,b,c)\in S}.

Pour {\sigma\in\mathfrak S_n}, calculer son ordre à partir des longueurs de ses cycles disjoints. Soit {g(n)} l'ordre maximal d'une permutation de {\mathfrak S_n}.

Montrer que {g} croît et {n\le g(n)\le n!} ; trouver le plus petit {n} tel que {g(n)>n}.

Si {(p_i)} est la suite des nombres premiers, montrer {n\ge\sum\limits_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}\Longrightarrow g(n)\ge\prod\limits_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}}.

Réciproquement, si {g(n)=\prod\limits_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}}, montrer {n\ge\sum\limits_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}}.

Enfin montrer : pour tout {\varepsilon>0}, il existe {C>0} tel que {g(n)\le Ce^{\varepsilon n}} pour tout {n\ge1}.

Question 1) Déterminer l'ordre de {i} dans {(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z},+)}.

Question 2) Montrer que {\sigma,\tau} sont conjuguées si et seulement si {n_k(\sigma)=n_k(\tau)} pour chaque {k}.

Question 3) Calculer {\det(\gcd(i,j))_{1\le i,j\le n}}. Indication : considérer {A=(\mathbf1_{i\mid j})} et {B=(\varphi(j)\mathbf1_{j\mid i})}.

Question 4) Montrer que la conjugaison équivaut aussi à {m(\sigma^i)=m(\tau^i)} pour {1\le i\le n}.

Question 5) Montrer qu'elle équivaut à la similitude de leurs matrices de permutation.

Soient {A\in GL_n(\mathbb{R})} et {u,v\in\mathbb{R}^n\setminus\left\{0\right\}}.

Exprimer {\det(A+uv^T)} et, lorsque ce déterminant est non nul, {(A+uv^T)^{-1}}.

Calculer {\det(i^j)_{1\le i,j\le n}}. Pour {a_1,\ldots,a_n} réels distincts, écrire {P_i=\prod\limits_{j\ne i}(X-a_j)=\sum\limits_{k=1}^n\alpha_{i,k}X^{k-1}}.

Calculer {\det(\alpha_{i,k})_{1\le i,k\le n}}.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})} telles que {A^2+B^2=AB} et {AB-BA\in GL_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {n} est divisible par {3}.

Question 1) Montrer que {\operatorname{Pf}(A)^2=\det A}.

Question 2) On admet que {GL_n^+(\mathbb{R})} est connexe par arcs.

Montrer que, pour tout {B\in M_4(\mathbb{R})}, {\operatorname{Pf}(BAB^t)=\det(B)\operatorname{Pf}(A)}. Pour {\det B\lt 0}, on pourra considérer {J=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)}.

Question 3) Soit {R\in SO_4(\mathbb{R})} et {A=R-R^t}.

Montrer l'équivalence entre : {R} n'a pas de valeur propre réelle ; {\operatorname{Pf}(A)\ne0} ; {A} est inversible.

Question 4) Soient {R_1,R_2\in SO_4(\mathbb{R})} et {A_i=R_i^t-R_i}. On suppose {\chi_{R_1}=\chi_{R_2}} et {\operatorname{Pf}(A_1)=\operatorname{Pf}(A_2)\ne0}.

Montrer qu'il existe {P\in SO_4(\mathbb{R})} tel que {R_1=PR_2P^t}.

Question 1) Rappeler l'ordre d'un élément {k} de {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}.

Question 2) Montrer que deux permutations de {\mathfrak S_n} sont conjuguées si et seulement si elles ont, pour tout {k}, le même nombre de cycles de longueur {k} dans leur décomposition en cycles à supports disjoints.

Question 3) Soit {c} un cycle de longueur {k}.

Déterminer le nombre de cycles dans la décomposition de {c^i}.

Soient {a,b\in(\mathbb{R}_+^\star)^n}. On note {a\succeq b} si {\sum\limits_{i=1}^ka_i\ge\sum\limits_{i=1}^kb_i} pour {1\le k\lt n} et {\sum\limits_{i=1}^na_i=\sum\limits_{i=1}^nb_i}.

Montrer que {a\succeq b} si et seulement si, pour tout {x\in(\mathbb{R}_+^\star)^n}, {\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\prod_{i=1}^nx_i^{a_{\sigma(i)}} \ge\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\prod_{i=1}^nx_i^{b_{\sigma(i)}}.}

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})} telles que {AB=BA}, et {k\ge1} entier.

Déterminer le signe de {\det(A^k+B^k)}.

Question a) i) Si {p_j} est de degré {j} et de coefficient dominant {d_j}, montrer {\det(p_j(x_i))=\prod\limits_jd_j\prod\limits_{i\lt j}(x_j-x_i)}.

ii) Montrer que pour chaque {x,j} il existe {p_j} de degré {j}, de coefficient dominant {f'(x)^j}, tel que {\frac{d^j}{dx^j}f(x)^z=f(x)^{z-j}p_j(z)} pour tout réel {z}.

iii) Démontrer la formule et discuter des cas particuliers.

Question b) Si {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}a_nx^n} a un rayon non nul, et si {c_{ij}} est le coefficient de {x^j} dans {f^i}, calculer {\det(c_{ij})_{1\le i,j\le n}}.

Soit {E=\mathcal M_n(\mathbb{R})}.

Calculer le déterminant de {\Phi:M\mapsto M^T}.

1) Montrer que ses valeurs propres complexes sont imaginaires pures.

2) Que vaut son déterminant si {n} est impair ?

3) Pour {n} pair et {J} la matrice dont tous les coefficients valent {1}, montrer {\det(A+J)=\det A}.

1) Traiter le cas où {M} est diagonale.

2) Montrer que {(\det(I_n+\varepsilon U)-1)/\varepsilon\to\operatorname{tr}U}.

3) Traiter un point {t_0} tel que {M(t_0)=I_n}.

4) Traiter le cas général.

Soient {A_1,\ldots,A_m\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})} telles que tout produit {A_iA_j} appartienne à {\left\{A_1,\ldots,A_m\right\}}.

Montrer que {|\det A_j|=1} pour tout {j}.