1) Si {0\in A} et {d(A)\ge1/2}, montrer que {A+A=\mathbb{N}}.

2) Si {0\in A\cap B}, montrer que {1-d(A+B)\le(1-d(A))(1-d(B))}.

3) Si {0\in A} et {d(A)>0}, montrer qu’une somme d’un nombre fini de copies de {A} est {\mathbb{N}}.

On note {p(n)} le nombre de partitions de l’entier {n\ge1}.

Montrer que {p(n)\le2^{n-1}}.

1) En supposant le résultat acquis, exprimer {\alpha(A)=\sum\limits_{B\subset A,\ a_n\in B}a_-(B)}.

2) Établir le résultat.

3) Pour {A=\left\{1,\ldots,n\right\}}, calculer {\sum\limits_{\varnothing\ne B\subset A,\ B\cap(B+1)=\varnothing}a_-(B)}.

Soit {E} un ensemble fini.

Dénombrer les triplets de parties {(A,B,C)} tels que {A\subset B\subset C}.

Pour {r\ge1}, combien y a-t-il de façons d’apparier les entiers {1,\ldots,2r} ?

1) Dénombrer les écritures {n=n_1+\cdots+n_r} en entiers strictement positifs, avec {r\ge1} arbitraire.

2) Même question pour {r\ge1} fixé.

1) Dénombrer les triplets de parties deux à deux disjointes de {\left\{1,\ldots,n\right\}}.

2) Pour {N\ge1}, dénombrer les fonctions {f:\left\{0,\ldots,2N\right\}\to\left\{0,\ldots,2N\right\}} telles que {f(0)=f(2N)=0} et {|f(k+1)-f(k)|=1}.

Peut-on partager le disque unité fermé en deux parties disjointes {A,B} reliées par une bijection {f:A\to B} conservant la norme ?

Montrer que, pour tout {n\in\mathbb{N}^\star}, il existe {m\in\mathbb{N}^\star} et {\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m\in\left\{-1,1\right\}} tels que {n=\sum\limits_{k=1}^m\varepsilon_k k^2}.

Soient {E=\left\{1,\ldots,n\right\}} et {A_1,\ldots,A_N\subset E} tels que {A_i\not\subset A_j} pour {i\ne j}.

Poser {p_i=|A_i|}.

Montrer que {\sum\limits_{i=1}^N p_i!(n-p_i)!\le n!}.

Trouver un polynôme {P(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f} injectif sur {\mathbb{N}\times\mathbb{N}}.

Soit {n\ge2}. Pour {A\in\mathcal M_n(\mathbb{C})} nilpotente, déterminer les valeurs possibles du cardinal de {\left\{B:B^2=A\right\}}.

Un graphe {G=(S,A)} a un ensemble fini de sommets {S} et un ensemble {A} de paires de sommets, appelées arêtes. Un morphisme {f:S\to S'} préserve les arêtes ; un isomorphisme préserve les arêtes dans les deux sens.

Donner une majoration du nombre de graphes à {n} sommets et {k} arêtes deux à deux non isomorphes.