Concours Centrale
Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral du concours de l’École Centrale (classes de Spé Mp, Pc, Psi)

Équation différentielle y″=(1+x⁴)y

(Oral Centrale)
On trouve une base du plan des solutions de

{(\star):\; y''=(1+x^{4})y}

, connaissant la solution, notée

f

, telle que

{f(0)=f'(0)=1}

➡️

Vidages d’urnes bicolores

(Oral Centrale)
Une urne contient

{b}

boules blanches et

{n-b}

rouges.
On les tire successivement et sans remise.
On note

{C}

le nombre de changements de couleur. Calculer

{E(C)}

{V(C)}

➡️

Étude d’un temps d’attente

(Oral Centrale)
Soit

{(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}}

des v.a.r. indépendantes de même loi :

{\mathbb{P}(X_{i}=1)=p}

;

{\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}

.
Soit

Y_k

le temps d’attente de

X_1+\cdots+X_n\ge k

.
On étudie la loi de

Y_k

et son espérance.

➡️

Deux premiers succès consécutifs

(Oral Centrale)
Dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre

{p}

, on note

p_n

la probabilité d’obtenir à la date

n

, et pour la première fois, deux succès à la suite.
Donner une relation entre

{p_{n+3}}

{p_{n+2}}

{p_{n+1}}

{p_{n}}

➡️

Majoration de valeurs propres

(Oral Centrale)
Soit

{M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

de pol. caractéristique

{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}

Montrer que :

{\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}

➡️

Diagonalisabilité d’une matrice 4×4

(Oral Centrale)
Diagonalisabilité de

{\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}}

où

{bcd\neq 0}

➡️

Indépendance de formes linéaires

(Oral Centrale)
Soit

{(f_{1},\ldots ,f_{p})}

des formes linéaires sur

{E}

, avec

\dim(E)=p

. Montrer

i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii)

i)

la famille

{(f_{1},\ldots,f_{p})}

est libre;

ii)

{\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))}

est surjective;

iii)

{\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}

{\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}

➡️

Suite récurrente, calculs asymptotiques

(Oral Centrale)
Soit

{x_{0}>0}

et :

{\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}

.
On demande un développement asymptotique à deux termes de

{x_n}

{+\infty}

➡️

Un endomorphisme symétrique de ℝ_n[X]

On munit

{\mathbb{R}_{n}[X]}

{\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}P(t)Q(t)\,\text{d}t}

.
Étudier l’endomorphisme

{P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}

➡️

Déplacements dans Z²

(Oral Centrale)
Un module, initialement en

{(0,0)}

, se déplace dans

{\mathbb{Z}^2}

dans l’une des directions (N,S,E,O) de manière équiprobable. On note

{A_{n}=(X_{n},Y_n)}

sa position à l’instant

{n}

, et

{Z_{n}}

sa distance à l’origine.
Donner

{\text{E}(X_{n})}

{\text{V}(X_{n})}

. Montrer que

{\text{E}(Z_{n})\leq \sqrt{n}}

, et calculer

{\mathbb{P}(Z_{n}=0)}

➡️

Un endomorphisme de matrices

(Oral Centrale)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, et

\varphi

défini par :

{\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

{\varphi(M)=AM-MB}

.
Montrer que si

{\alpha\in\text{Sp}(A)}

{\beta\in\text{Sp}(B)}

, alors

{\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}

.
Si

{\varphi(M)=\lambda M}

, montrer que :

{\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}

➡️

Une équation matricielle

(Oral Centrale)
Soient

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

{E_{A}=\{X\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),AXA=0\}}

.
Déterminer

{\dim (E_{A})}

en fonction du rang de

{A}

➡️

Un endomorphisme de polynômes

(Oral Centrale)
Étude de l’endomorphisme de

{\mathbb{R}_n[X]}

défini par

{f(P)\!=\!(X\!-\!a)(X\!-\!b)P^{\prime}\!-\!nXP}

➡️

Valeur propre commune

(Oral Tpe, Ensam, Mines-Ponts et Centrale)
Montrer que deux matrices

{A,B}

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe

{U\ne0}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

telle que

{AU = UB}

➡️

Suites C-convergentes

(oral Centrale)
Une suite

{(u_{n})}

est dite C-convergente si

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}(u_{1}+\cdots+ u_{n})=0}

.
Donner un exemple de suite

{C}

-convergente non convergente.
Montrer qu’une suite tendant vers

{0}

est

{C}

-convergente.
Soit

{\alpha\in\,]0, 1[}

. Montrer que la suite

{n\mapsto(-1)^{n}n^{\alpha}}

est

{C}

-convergente.

➡️

Série de fonctions, série entière

(Oral Ccp et Centrale)
Soit

{f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}

, avec

|a|\lt1

.
On montre que

{f}

est

{C^{\infty}}

, puis qu’elle est développable en série entière sur

\mathbb{R}

➡️

Équation fonctionnelle et série

(Oral Centrale)
Trouver les

{f\in{\mathcal C}^{0}([0,1],\mathbb{R})}

telles que :

{\forall\, x\in [0,1], f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{f(x^{n})}{2^{n}}}

➡️

Nature d’une série numérique

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum a_{n}}

, où

{a_{0}>0}

{a_{n+1}=\ln(1\!+\!a_{n})}

➡️

Somme d’une série alternée

(Oral Centrale)
Convergence et somme de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)}

➡️

Convergence d’une série alternée

(Oral Centrale)
Nature de la série

{\displaystyle\sum\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n!}}}

➡️