Concours Centrale
Accélération de convergence (Aitken)
(Oral Centrale Mp)
Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)
Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)
Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)n+a
(oral Centrale Mp)
Pour tout réel {a}, on sait que la suite {n \mapsto (1+1/n)^{n+a}} tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre {a}.
Pour tout réel {a}, on sait que la suite {n \mapsto (1+1/n)^{n+a}} tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre {a}.
Un algorithme de Lehmer
(Centrale Mp) Un algorithme de Lehmer de décomposition de arctan(a/b).
Réduction d’une matrice en ᒧ
(Oral Centrale Mp)
Réduction d’une matrice en ᒧ
Réduction d’une matrice en ᒧ
Approximants de Padé de exp(x)
(Oral Centrale Mp)
Approximants de Padé de exp(x)
Approximants de Padé de exp(x)
Déterminant et polynômes
(Oral Centrale Mp)
Soit n\in\mathbb{N}, et {P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}} pour 0\le j\le n.
On étudie la matrice des coefficients a_{n,i,j} et on calcule son déterminant.
Soit n\in\mathbb{N}, et {P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}} pour 0\le j\le n.
On étudie la matrice des coefficients a_{n,i,j} et on calcule son déterminant.
Suite presque toujours périodique
(oral Centrale Mp)
Pour a\gt 1, on étudie la suite {u_1=2} et {u_{n+1}=2-a/u_{n}}, à valeurs dans {\mathbb{R}\cup\{\infty\}}
Pour a\gt 1, on étudie la suite {u_1=2} et {u_{n+1}=2-a/u_{n}}, à valeurs dans {\mathbb{R}\cup\{\infty\}}
Un produit scalaire entre polynômes
(Oral Centrale Mp)
Étude de {\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}, où {c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}
Étude de {\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}, où {c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}
Matrices de Householder
(Oral Centrale Mp)
Matrices de Householder pour a décomposition QR
Matrices de Householder pour a décomposition QR
Racines du polynôme dérivé (bis)
(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}
Les racines du polynôme dérivé
(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}
Une série numérique à paramètre
(Oral Centrale)
Étude de {S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}.
Étude de {S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}.
Dans une quartique, le nombre d’or
(Oral Centrale Mp)
Le nombre d’or caché dans la sécante joignant deux inflexions d’une quartique.
Le nombre d’or caché dans la sécante joignant deux inflexions d’une quartique.
Déterminant de la matrice des ppcm(i,j)
(Oral Centrale Mp)
La matrice M des ppcm(i,j). Décomposition puis déterminant de M.
La matrice M des ppcm(i,j). Décomposition puis déterminant de M.
Déterminant de la matrice des pgcd(i,j)
Étude d’une hélice
(Oral Centrale)
Étudier l’arc paramétré défini par :
x(t)=(1\!+\!\cos t)\cos(t), \;y(t)=(1\!+\!\cos t)\sin (t), \;z(t)=4\sin(t/2)
Étudier l’arc paramétré défini par :
x(t)=(1\!+\!\cos t)\cos(t), \;y(t)=(1\!+\!\cos t)\sin (t), \;z(t)=4\sin(t/2)
Équation différentielle y(3)-y = ept
Intégrales de Wallis hyperboliques
(Oral Centrale)
On étudie {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t} où \text{sh}(\alpha)=1
(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)
On étudie {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t} où \text{sh}(\alpha)=1
(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)
Quand le nombre d’urnes est infini
(Oral Centrale)
Pour {k\in [[1,p]]}, l’urne numéro {k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire {2n} boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu {n} boules noires? Quelle est sa limite quand p\to+\infty?
Pour {k\in [[1,p]]}, l’urne numéro {k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire {2n} boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu {n} boules noires? Quelle est sa limite quand p\to+\infty?