Ordre minimal d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) Si la suite {u} vérifie une récurrence linéaire d’ordre {p}, on étudie l’ordre minimal {r} d’une récurrence linéaire que pourrait vérifier {u}.
Calculs matriciels
Une algèbre de matrices 3×3
(Oral Centrale) On considère un ensemble {E} de matrices carrées d’ordre 3, dépendant de deux paramètres. On montre que {E} est une sous-algèbre de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}. On étudie les puissances et la diagonalisabilité des éléments de {E}.
Puissances d’un endomorphisme de L(E)
(Oral Centrale) On s’intéresse aux puissances de l’endomorphisme de {\mathcal{L}(E)} défini par {f(u)=(au+ua)/2}, selon les propriétés de l’endomorphisme {a} de {E}.
Itérations de f(M)=(AM+MA)/2
(Oral Centrale) On se donne une matrice {A} carrée d’ordre 3. On étudie les itérations de l’endomorphisme de {\mathcal{M}_3(\mathbb{K})} défini par {f(M)=(AM+MA)/2}.
Itération matricielle et approximation
(Oral Centrale) Soit une matrice carrée {A} d’ordre {n}, dépendant d’un paramètre {m}. On l’inverse, on la diagonalise, et on approche un vecteur propre de {A} pour la valeur propre de plus grand module.
Transposée de la comatrice
(Oral Centrale) On étudie l’application qui à {x} complexe associe la transposée de la comatrice de {xI_n-A}, où {A} est dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}
Identité matricielle AXB = BXA
(Oral Centrale). Dans {E=\mathcal{M}_n(\mathbb{K}K)}, on se donne {A,B } telles que {AXB=BXA} pour tout {X} de {E}. L’objectif de l’exercices est de montrer que {A} et {B} sont liées.
Triplets rectangulaires
(Oral Centrale) On s’intéresse aux triplets {(x,y,z)} d’entiers premiers entre eux dans leur ensemble et tels que {x^2+y^2=z^2}. On voit une méthode matricielle pour générer un nombre quelconque de solutions.
Sous-espaces de matrices inversibles
(Oral Centrale) On considère des sous-espaces de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} dont toutes les matrices non nulles sont inversibles. On étudie la dimension maximale d’un tel sous-espace.
Matrices semblables par blocs
(Oral Centrale). Dans cet exercice, on étudie des conditions équivalentes pour que les matrices par blocs {((A,0),(0,0)) } et {((A,B),(0,0))} soient semblables.
Groupes d’endomorphismes de même rang
(Oral Centrale). On considère un sous-groupe quelconque de {\mathcal{L}(E)}, où {E} est un {\mathbb{K}}-espace de dimension finie. On vérifie que ses éléments ont le même rang. On étudie le cas particulier du groupe des permutations des vecteurs d’une base de {E}.
À la manière du déterminant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {D :E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\to\mathbb{\mathbb{K}}} non constante.
On suppose que : {\forall\,(A,B)\in E^2,\;D(AB)=D(A)D(B)}.
Montrer que {A\in E} est inversible {\Leftrightarrow D(A)\neq 0}.
Soit {D :E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\to\mathbb{\mathbb{K}}} non constante.
On suppose que : {\forall\,(A,B)\in E^2,\;D(AB)=D(A)D(B)}.
Montrer que {A\in E} est inversible {\Leftrightarrow D(A)\neq 0}.
Projecteur composé de nilpotents
(Oral Mines-Ponts)
Pour {1\le i,j,k\le n}, soit {a_{ij}^{(k)}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i=j+k\\0\text{\ sinon}\end{cases}}
Soit {A_{k}=\left(a_{ij}^{(k)}\right)_{1\leq i,j\leq n}}. Calculer {M_k=A_{k}^{\top}A_{k}}.
Soit {p\neq \text{Id}} un projecteur de {\mathbb{R}^{n}}. Montrer que {p} est la composée de deux endomorphismes nilpotents.
Pour {1\le i,j,k\le n}, soit {a_{ij}^{(k)}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i=j+k\\0\text{\ sinon}\end{cases}}
Soit {A_{k}=\left(a_{ij}^{(k)}\right)_{1\leq i,j\leq n}}. Calculer {M_k=A_{k}^{\top}A_{k}}.
Soit {p\neq \text{Id}} un projecteur de {\mathbb{R}^{n}}. Montrer que {p} est la composée de deux endomorphismes nilpotents.
Racines carrées d’une matrice
(Oral CCInp)
On détermine les racines carrées de {A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}.
On détermine les racines carrées de {A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}.
Sous-espace de matrices de rang borné
(Oral Centrale)
Soit {\mathcal{V}} un sous-espace de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} contenant {\begin{pmatrix}I_{r} & 0 \\0 &0\end{pmatrix}}.
On suppose : {\forall\,M\in\mathcal{V},\;\textrm{rg}(M)\le r}.
Montrer que {\dim \mathcal{V}\leq nr}.
Soit {\mathcal{V}} un sous-espace de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} contenant {\begin{pmatrix}I_{r} & 0 \\0 &0\end{pmatrix}}.
On suppose : {\forall\,M\in\mathcal{V},\;\textrm{rg}(M)\le r}.
Montrer que {\dim \mathcal{V}\leq nr}.
Conditions suffisantes d’inversibilité
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
Pour {i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}, on note {L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}.
On suppose {|a_{i,i}|>L_{i}} pour tout {i}.
Montrer que {A} est inversible.
On suppose {|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}} pour tous {i\neq j}.
Montrer là encore que {A} est inversible.
Soit {A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
Pour {i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}, on note {L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}.
On suppose {|a_{i,i}|>L_{i}} pour tout {i}.
Montrer que {A} est inversible.
On suppose {|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}} pour tous {i\neq j}.
Montrer là encore que {A} est inversible.
Commutant de A quand A^2=0
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}non nulle telle que {A^{2}=0}.
Déterminer la dimension de {\mathcal{C}_{A}=\{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}),\;AM=MA\}}.
Soit {A\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}non nulle telle que {A^{2}=0}.
Déterminer la dimension de {\mathcal{C}_{A}=\{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}),\;AM=MA\}}.
Connaissant AB, calculer BA
(Oral Centrale)
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}.
Calculer {BA}.
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}.
Calculer {BA}.
Suites polynomiales d’entiers
(Oral Centrale Mp)
Caractérisation des « suites polynomiales d’entiers »
Caractérisation des « suites polynomiales d’entiers »
Puissances et racines de matrices
(Oral Centrale Mp)
Pour {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}, calcul de {A^n,\,n\in\mathbb{Z}} de {A^{1/n}}, de {\exp(A)}
Pour {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}, calcul de {A^n,\,n\in\mathbb{Z}} de {A^{1/n}}, de {\exp(A)}