Concours Mines-Ponts
Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral du concours commun Mines-Ponts (math Spé Mp, Pc, Psi)

Inverse d’une matrice définie positive

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

, définie positive.
Montrer que, pour tout

{X\in \mathbb{R}^{n}}

{\| X\|^{4}\leq (X^{\top}AX)(X^{\top}A^{-1}X)}

➡️

Matrices telles que A^T = A^2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A}

une matrice de

{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{\top}=A^{2}}

Étudier la diagonalisation de

{M=A^{\top}A}

.
Montrer que

{A}

est orthogonalement semblable à l’une des cinq matrices indiquées.

➡️

B polynôme en A ⇒ A polynôme en B ?

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

une matrice diagonalisable.
Soit

{B=A^{3}+A+I_{n}}

.
Si

{\mathbb{K}=\mathbb{R}}

, montrer que

{A}

est un polynôme en

{B}

.
Qu’en est-il si

{\mathbb{K}=\mathbb{C}}

?
Qu’en est-il si

{\mathbb{K}=\mathbb{R}}

, mais que

{A}

n’est pas supposée diagonalisable dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Un exemple de trigonalisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^3)}

tel que

{u^2\ne 0}

{u^5=0}

.
Montrer qu’il existe une base de

{\mathbb{R}^3}

dans laquelle la matrice de

{u}

est :

{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

➡️

Un critère de non diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

{\mathbb{C}}

-espace vectoriel de dimension finie et

{u\in\mathcal{L}(E)}

. On montre que

{u}

est non diagonalisable si et et seulement s’il vérifie la propriété : il existe un plan

{P}

{E}

stable par

{u}

et une base de

{P}

dans laquelle la matrice de l’endomorphisme induit par

{u}

s’écrit

{\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}}

➡️

Racine n-ième d’une rotation

(Oral Mines-Ponts)
Sent

{M\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\;n\in \mathbb{N}}

avec

{M^{n}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}}

.
Soit

{\theta_{k}=\frac{(2k+1)\pi}{2n}}

{R_{k}=\begin{pmatrix}\cos\theta_{k} & -\sin\theta_{k} \\\sin\theta _{k} & \cos\theta _{k}\end{pmatrix}}

.
Montrer :

{\exists\,Q\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}),\exists\,k\in \mathbb{N},\;Q^{-1}MQ=R_{k}}

➡️

Racines carrées matricielles

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}

, on note :

{E_A=\{B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;B^{2}=A\}}

Trouver les

{A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}

telles que

{E_A}

soit fini non vide.
Que dire alors de

{\text{Card}(E_A)}

➡️

Diagonalisabilité et déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension

{n}

.
Soit

{\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})}

une base de

{E}

.
Soit

{u=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}e_i}

{f\in\mathcal{L}(E)}

défini par :

{\forall\,i\in\{1,\ldots,n\},\;f(e_{i}) = e_{i} + u}

Trouver les éléments propres de

{f}

{f}

est-il diagonalisable ? Quel est son déterminant ?

➡️

Égalité matricielle AB-BA=B

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{AB-BA=B\ (\star)}

Calculer

{\mathrm{tr}(B)}

. Montrer que

{B}

n’est pas inversible.
Montrer :

{\forall\,k\in \mathbb{N},\;AB^{k}-B^{k}A=kB^{k}}

.
En déduire que

{B}

est nilpotente (plusieurs méthodes)

➡️

Indépendance d’une famille de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(f_{1},\ldots,f_{n})}

une famille de fonctions de

{\mathbb{R}}

dans

{\mathbb{R}}

. Montrer qu’elle est libre si et seulement s’il existe

{n}

réels

{x_{1},\ldots,x_{n}}

tels que la matrice des

{f_{i}(x_{j})}

soit inversible dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

➡️

Réciproque de P ↦ P-P’

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{B\in \mathbb{R}[X]}

.
Montrer :

{\exists!\;A\in\mathbb{R}[X],A-A^{\prime}=B}

.
Montrer que si

{B\ge0}

sur

{\mathbb{R}}

, alors

{A}

aussi.

➡️

Endomorphisme vérifiant u^3=u

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension finie.
Soit

{u\in{\mathcal L}(E)}

tel que

{u^{3}=u}

.
Montrer que

{u^{2}}

est un projecteur.
Que dire si

{\text{tr}(u)=\text{rg}(u)}

➡️

Conditions suffisantes d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

.
Pour

{i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}

, on note

{L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}

.
On suppose

{|a_{i,i}|>L_{i}}

pour tout

{i}

.
Montrer que

{A}

est inversible.
On suppose

{|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}}

pour tous

{i\neq j}

.
Montrer là encore que

{A}

est inversible.

➡️

Combinaisons de matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts & Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

: la matrice

{A+tB}

est-elle nilpotente? Réciproquement, s’il existe des

{t_k}

distincts tels que

{A+t_kB}

soit nilpotente, les matrices

{A,B}

sont-elles nilpotentes?

➡️

Matrice semblable à son opposée

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})}

une matrice nilpotente.
Soit

{p}

son indice de nilpotence. Montrer que

{p\leq 3}

.
On suppose

{p=3}

. Montrer que

{A}

est semblable à

{-A}

si et seulement si

{\det A=\text{tr}\,A=0}

➡️

Commutant de A quand A^2=0

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

non nulle telle que

{A^{2}=0}

.
Déterminer la dimension de

{\mathcal{C}_{A}=\{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}),\;AM=MA\}}

➡️

Équivalent d’une somme alternée

(Oral Mines-Ponts)
Calculer un équivalent de

{b_{n}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k}\sqrt{k}}

➡️

Intégrale fonction de ses bornes

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\displaystyle\int_{x}^{x^{2}}\dfrac{\,\text{d}t}{\ln t}}

.
Montrer que

{f}

est prolongeable par continuité sur

{\mathbb{R}_{+}}

.
Montrer que ce prolongement est

{C^{\infty }}

sur

{\mathbb{R}_{+}^{\ast}}

mais pas sur

{\mathbb{R}_{+}}

➡️

Majoration des racines d’un polynôme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}\in \mathbb{C}[X]}

.
On pose

{A=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}

.
Soit

{z}

une racine de

{P}

.
Montrer que

{|z|\leq \max \{1,\ A\}}

➡️

Une décomposition en éléments simples

(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe un unique polynôme

{P_n}

tel que :

{P_{n}\Big(X+\dfrac{1}{X}\Big)=X^{n}+\dfrac{1}{X^{n}}}

Décomposer

{1/P_{n}}

en éléments simples.

➡️