L’ensemble des comatrices
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on détermine l’ensemble image de l’application qui à une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} associe sa comatrice.
Mathprepa Exercices corrigés
Une preuve de Cayley-Hamilton
(Oral Centrale) On établit ici le théorème de Cayley-Hamilton par une méthode à base de calcul intégral et de série entière matricielle.
Spectre de matrices symétriques
(Oral Centrale) On étudie la fonction qui au réel {t} associe la valeur propre maximum de {u+tv,}, où {u} et {v} sont deux endomorphismes symétriques de {E} euclidien.
Matrices symétriques congruentes
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute matrice symétrique réelle dont les sous-matrices principales sont à déterminant strictement positif est congruente à une matrice diagonale à coefficients strictement positifs (sans recours au théorème spectral bien sûr).
Un problème de minmax
(Oral Centrale) On s’intéresse aux conditions pour que la fonction {\max(f_1,f_2,\ldots,f_p)} admette localement un minimum (les {f_i} étant de classe {\mathcal{C}^1} sur {\mathbb{R}^n}
Système à diagonale dominante
(Oral Centrale) On considère des systèmes linéaires {AX=B}, où la matrice {A} est « à diagonale dominante ». On voit comment approcher l’unique solution par des itérations successives. On termine par une application numétique.
Minimiser une forme quadratique sur ℤxℤ
(Oral Centrale) On considère la forme quadratique {q(x,y)=rx^2+2sxy+ty^2}, avec {rt-s^2=3/4}, et on montre qu’il existe {(x,y)\in\mathbb{Z}^2} tel que {|q(x,y)|\le 1}.
Somme des distances à une droite
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on voit comment déterminer la droite qui minimise la somme des carrés des distances à une famille donnée de {p} points.
Rang et positivité d’une matrice symétrique
(Oral Centrale) On considère une matrice symétrique réelle {M} obtenue par bordures successives. On détermine des conditions sur les coefficients de {M} pour qu’elle soit positive ou définie-positive.
Décomposition polaire par minimisation
(Oral Centrale) On prouve, par un argument de minimisation, que toute matrice réelle {A} s’écrit {A=RS}, avec {R} orthogonale positive et {S} symétrique.
Décomposition en nilpotents
(Oral Centrale) On montre que tout endomorphisme non inversible d’un {\mathbb{C}}-espace de dimension finie est le composé d’au plus trois endomorphismes nilpotents.
Identité matricielle AXB = BXA
(Oral Centrale). Dans {E=\mathcal{M}_n(\mathbb{K}K)}, on se donne {A,B } telles que {AXB=BXA} pour tout {X} de {E}. L’objectif de l’exercices est de montrer que {A} et {B} sont liées.
Points entiers sur une hyperbole
(Oral Centrale). On se propose de déterminer tous les points à coordonnées entières sur l’hyperbole d’équation {x^2-3y^2=1}. On procède pour cela par itération matricielle à partir de la solution évidente {(1,0)}.
Matrices semblables à leur inverse
(Oral Centrale) On étudie des conditions pour que des matrices inversibles, de taille 2 ou 3, soient semblables à leur inverse.
Facteurs premiers des an-1
(Oral Centrale) On montre que si {a-1} et {a^n-1} ont les mêmes facteurs premiers, alors {n=2} et {a} est un nombre de Mersenne (et la réciproque est vraie).
Racines d’une suite de polynômes
(Oral Centrale) On étudie les propriétés des racines de {P_{n}(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(nX)^{k}}{k!}}
Unitaires de ℤ[X] à racines dans D(0,1)
(Oral Centrale) On étudie l’ensemble des polynômes unitaires de {\mathbb{Z}[X]}, à racines dans le disque unité. Parmi eux, les polynômes cyclotomiques.
Produit scalaire et dérivées partielles
(Oral Centrale). Avec une méthode basée sur des dérivées partielles de fonctions génératrices, on étudie un produit scalaire discret sur {\mathbb{R}_n[X]}.
Opérateur Δ sur les polynômes
(Oral Centrale). À l’aide de l’opérateur {\Delta} sur les polynômes, on étudie les séries entières de la forme {\sum P(n)x^n}, où {P} est un polynôme donné.
Protégé : art
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