Mpsi Pcsi
Des centaines d’exercices corrigés pour les classes de Math Sup Mpsi et Pcsi

Un système linéaire

(oral Ccp)
Résoudre

{\begin{cases} x+y+z=1\\\alpha x+\beta y+\gamma z=1\\\alpha^{2}x +\beta^{2}y +\gamma^{2}z =1\end{cases}\!\!\!}

où

{\alpha, \beta,\gamma}

sont les racines de

{X^{3}+X+1}

➡️

Une base de C_n[X]

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{(z_{j})_{0\leq j\leq n}}

des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille

{((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}}

est une base de

{\mathbb{C}_{n}[X]}

➡️

Racines du polynôme dérivé

(oral Ccp)
Montrer que si

P

est scindé dans

\mathbb{R}[X]

, alors

P'

l’est aussi.

➡️

Orthocentre à l’origine

(Oral Mines-Ponts)
Déterminer

z\in\mathbb{C}

tels que l’orthocentre de

A(z)

B(z^2)

C(z^3)

soit en

0

➡️

Une récurrence linéaire d’ordre 3

(Oral Ccp)
Étude des suites de

\mathbb{C}^{\mathbb{N}}

telles que

\forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}

➡️

Étude d’un temps d’attente

(Oral Centrale)
Soit

{(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}}

des v.a.r. indépendantes de même loi :

{\mathbb{P}(X_{i}=1)=p}

;

{\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}

.
Soit

Y_k

le temps d’attente de

X_1+\cdots+X_n\ge k

.
On étudie la loi de

Y_k

et son espérance.

➡️

Deux premiers succès consécutifs

(Oral Centrale)
Dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre

{p}

, on note

p_n

la probabilité d’obtenir à la date

n

, et pour la première fois, deux succès à la suite.
Donner une relation entre

{p_{n+3}}

{p_{n+2}}

{p_{n+1}}

{p_{n}}

➡️

Majoration de valeurs propres

(Oral Centrale)
Soit

{M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

de pol. caractéristique

{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}

Montrer que :

{\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}

➡️

Décomposition en suites monotones

(oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}

. Montrer qu’il existe des suites

{v}

{w}

respectivement croissante et décroissante telles que

{u=v+w}

➡️

Une équation intégrale

(Oral X-Cachan)
Résoudre dans

{\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})}

{\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}

➡️

(f(x)|f(y))=(x|y) implique f linéaire

(Oral X-Cachan)
Soit

{({E,\left({\cdot}\mid{\cdot}\right))}}

un espace euclidien.
Soit

{f:E\rightarrow E}

telle que

{\forall\, (x,y)\in {E^{2}}}

{\left({f(x)}\mid{f(y)}\right)=\left({x}\mid{y}\right)}

.
Montrer que

{f}

est linéaire.

➡️

Indépendance de formes linéaires

(Oral Centrale)
Soit

{(f_{1},\ldots ,f_{p})}

des formes linéaires sur

{E}

, avec

\dim(E)=p

. Montrer

i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii)

i)

la famille

{(f_{1},\ldots,f_{p})}

est libre;

ii)

{\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))}

est surjective;

iii)

{\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}

{\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}

➡️

Noyau et image de f et f^2

(Oral Ccp)
Avec

f\in\mathcal{L}(E)

, on étudie les égalités

{\text{Ker}(f)=\text{Ker}(f^2)}

{\text{Im}(f)=\text{Im}(f^2)}

➡️

Un sous-espace de matrices

(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace

{E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}

➡️

Carré d’une matrice de rang ≤ 1

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, avec

{\text{rg}(A)\le 1}

.
Montrer que

{A^2=\text{tr}(A)A}

➡️

Base de formes linéaires

(Oral Ccp)
On pose

{f(x,y,z)=2x-y+z}

{g(x,y,z)= y-z}

{h(x,y,z)=-x +4y+2z}

. Montrer que

f,g,h

forment une base de

\mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R})

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Déplacements dans Z²

(Oral Centrale)
Un module, initialement en

{(0,0)}

, se déplace dans

{\mathbb{Z}^2}

dans l’une des directions (N,S,E,O) de manière équiprobable. On note

{A_{n}=(X_{n},Y_n)}

sa position à l’instant

{n}

, et

{Z_{n}}

sa distance à l’origine.
Donner

{\text{E}(X_{n})}

{\text{V}(X_{n})}

. Montrer que

{\text{E}(Z_{n})\leq \sqrt{n}}

, et calculer

{\mathbb{P}(Z_{n}=0)}

➡️

Quatre spots lumineux

(Oral XCachan Psi)
On étudie l’évolution aléatoire d’un tableau de quatre spots lumineux.

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Équa. diff. et développement limité

(Oral Tpe)
On considère l’équation différentielle

{(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}

.
Montrer que

(E)

admet une unique solution

{f}

sur

{]-\infty,1[}

vérifiant

{f(0) = 0}

.
Donner un développement de

{f}

à l’ordre

{4}

{0}

➡️

Une équation matricielle

(Oral Centrale)
Soient

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

{E_{A}=\{X\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),AXA=0\}}

.
Déterminer

{\dim (E_{A})}

en fonction du rang de

{A}

➡️