Mpsi Pcsi
Des centaines d’exercices corrigés pour les classes de Math Sup Mpsi et Pcsi

Points fixes uniques

(oral Mines-Ponts)
Soient

{f}

{g}

deux fonctions continues sur

{\mathbb{R}}

, avec

{f\circ g}

décroissante.
Montrer que

{f\circ g}

{g\circ f}

admettent un unique point fixe.

➡️

La somme des 1/k^2

(Oral Mines-Ponts)
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de

{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}

➡️

Deux encadrements

(oral Mines-Ponts)
Montrer que

{\forall\, x}

{y\in \mathbb{R}^{+*}}

{\Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{y}\lt \text{e}^{x}\lt \Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{x+y}}

➡️

Racines d’un polynôme

(oral Mines-Ponts)
Trouver les racines complexes de

{P(X)=1+2X+\ldots +2X^{n-1}+X^{n}}

➡️

La somme des k^2 binom(n,k)

(Oral Mines-Ponts)
Calculer

{S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2}\dbinom{n}{k}}

(cinq méthodes possibles!)

➡️

Vandermonde, le retour

(Oral École Navale)
Calculer

{\det(M)}

, où

{m_{i,j}=j(a_{i}^{j-2}+a_{i}^{j-1})}

{2\le j\le n}

, et

{m_{i1}=1}

➡️

Suites C-convergentes

(oral Centrale)
Une suite

{(u_{n})}

est dite C-convergente si

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}(u_{1}+\cdots+ u_{n})=0}

.
Donner un exemple de suite

{C}

-convergente non convergente.
Montrer qu’une suite tendant vers

{0}

est

{C}

-convergente.
Soit

{\alpha\in\,]0, 1[}

. Montrer que la suite

{n\mapsto(-1)^{n}n^{\alpha}}

est

{C}

-convergente.

➡️

Une base de polynômes

(Oral Ccp)
Montrer que les

{P_k=X^k(1-X)^{n-k}}

(avec

{0\le k\le n}

) forment une base de

{\mathbb{R}_n[X]}

.
Exprimer

{1,X,\cdots ,X^n}

dans cette base.

➡️

Équivalents et polynômes

(oral Mines-Ponts)
Soit

{P \in\mathbb{R} [X]}

. Trouver un équivalent de

{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)}

quand

{n\to+\infty}

➡️

Une limite de somme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{p \in\mathbb{R}}

. Étudier la suite

{n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}

➡️

Endomorphisme et produit vectoriel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u}

dans

{E}

euclidien orienté de dimension

{3}

.
Déterminer les

{f\in\mathcal{L}(E)}

tels que

{x\wedge u}

f(x)

sont liés pour tout

{x\in E}

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Réflexions conjuguées

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{H_{1}, H_{2}}

deux hyperplans de

{E}

euclidien. On note

{s_{i}}

la réflexion par rapport à

{H_{i}}

.
Montrer que

{s_{1}s_{2}=s_{2}s_{3}}

, où

{s_{3}}

est la réflexion par rapport à

{H_{3}=s_2(H_1)}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Trouver les

{M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})}

{M^2=}

{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}

➡️

Déterminant positif, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

{M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}

.
Montrer que

{\det(M)\ge 0}

➡️

Conditions impliquant det(x A + y B)=0

](Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

, avec

{\det(A)=\det(B)=\det(A\!+\!B)=\det(A\!-\!B)=0}

.
Calculer

{\det(xA+yB)}

pour tous réels

{x,y}

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Projecteur p vérifiant u = pu – up ?

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u}

un endomorphisme d’un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

{E}

.
À quelle condition existe-t-il un projecteur

{p}

{E}

vérifiant

{u= pu-up\,}

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Racine carrée de la dérivation?

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E_{1}}

le plan de

{E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

engendré par

x\mapsto\sin x

x\mapsto \cos x

.
Existe-t-il

{u\in{\mathcal L}(E_1)}

tel que :

{\forall f\in E_1,\;u^{2}(f)=f'\;}

?
Existe-t-il

{v\in{\mathcal L}(E)}

tel que :

{\forall f\in E,\;v^{2}(f)=f'\;}

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Un déterminant tridiagonal

(Oral Mines-Ponts)
On définit

{M_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

par

{m_{i,i}=\dfrac{a}{b}}

{m_{i,i+1}=a}

{m_{i+1,i}=\dfrac{1}{b}}

(et

{0}

sinon).
Calculer le déterminant

\Delta_n

{M_{n}}

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Déterminant et Chebyshev

Soit

{M = (\cos(p\!-\!1)t_{q})_{1\le p,q\le n}}

. Calculer

{\det(M)}

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Étude d’une suite implicite

(oral Ccp)
Soit

u_n

l’unique solution positive de

{x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x-1=0}

.
On étudie la limite

\ell

de la suite

(u_n)

, puis un équivalent de

u_n-\ell

➡️