Rotations vectorielles du plan
Trois exercices sur le thème « rotations vectorielles du plan ».
Mpsi Pcsi
Exercices sur le produit vectoriel
Quatre exercices sur le thème « produit vectoriel ».
Orthogonalité de M → AM
Soit {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} muni du produit scalaire {\left({A}\!\mid\!{B}\right)\!=\!\text{tr}({A}^{\!\top}B)}
Pour quelles matrices {M} l’application {A\mapsto AM} est-elle une isométrie?
Pour quelles matrices {M} l’application {A\mapsto AM} est-elle une isométrie?
Matrice orthogonale et inégalités
Soit {A=(a_{ij})} une matrice orthogonale d’ordre {n}.
Prouver que: {\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\le n\sqrt n\;} et {\;\Bigl|\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\le n}
Prouver que: {\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\le n\sqrt n\;} et {\;\Bigl|\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\le n}
Orthogonales et triangulaires à la fois
Montrer que dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, les seules matrices à la fois orthogonales et triangulaires sont les matrices diagonales à coefficients diagonaux égaux à {\pm 1}.
Forme linéaire et produit scalaire
On munit {E=\mathbb{R}[X]} du produit scalaire {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Existe-t-il {A\in E} tel que : {\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}?
Même question avec E=\mathbb{R}_n[X]. Que dire sur A?
Existe-t-il {A\in E} tel que : {\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}?
Même question avec E=\mathbb{R}_n[X]. Que dire sur A?
Minimum d’une intégrale
Calculer le minimum de {I_{a,b}=\displaystyle\int_{0}^{1}(t\ln(t)-at-b)^2\,\text{d}t}, et pour quels {a,b}.
Éléments propres de M quand MMT=MTM
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {M{M}^{\top}={M}^{\top}M}.
Montrer que {M,{M}^{\top}} ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.
Montrer que {M,{M}^{\top}} ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.
Noyau de M+MT quand M2=0
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, telle que {M^{2}=0}.
Montrer que {\text{Ker}(M+{M}^{\top})=\text{Ker}(M)\cap\text{Ker}({M}^{\top})}.
Montrer que {\text{Ker}(M+{M}^{\top})=\text{Ker}(M)\cap\text{Ker}({M}^{\top})}.
Une suite cachée de carrés d’entiers
Montrer que {u_n=\dfrac{1}{32}\Bigl((17+12\sqrt2)^n+(17-12\sqrt2)^n-2\Bigr)} est toujours le carré d’un entier.
Conservation de l’orthogonalité
Soit {E} un espace vectoriel euclidien, et soit {f\in{\mathcal L}(E)}.
On suppose que : {\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}
Montrer : {\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.
On suppose que : {\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}
Montrer : {\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.
Procédé de Gram-Schmidt
On munit {\mathbb{R}_4[X]} de {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.
Une base orthonormale de ℝ[X]
Dans {\mathbb{R}[X]}, on pose {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}, {\;U_{n}(X)=(X^{2}-X)^{n}\;} et {\;P_{n}=U_{n}^{(n)}}.
1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est une famille orthogonale. Calculer \|P_n\|.
2. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.
1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est une famille orthogonale. Calculer \|P_n\|.
2. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.
Produit scalaire et linéarité
Soit {E} préhilbertien réel, et {f\colon E\rightarrow E} une application.
On suppose : {\forall\, (x,y),\;\left({f(x)}\mid{y}\right)=\left({x}\mid{f(y)}\right)}. Montrer que {f} est linéaire.
On suppose : {\forall\, (x,y),\;\left({f(x)}\mid{y}\right)=\left({x}\mid{f(y)}\right)}. Montrer que {f} est linéaire.
Une condition d’orthogonalité
Soit u,v deux vecteurs de {E} préhilbertien réel.
On suppose : {\forall\,\lambda\in\mathbb{R},\;\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}.
Montrer que {\left({u}\mid{v}\right)=0}.
On suppose : {\forall\,\lambda\in\mathbb{R},\;\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}.
Montrer que {\left({u}\mid{v}\right)=0}.
Un produit scalaire?
Soit {a} unitaire dans {E} préhilbertien réel.
Soit \varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R} définie par : {\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}
Pour quels {\lambda\in\mathbb{R}} l’application \varphi_a est-elle un produit scalaire?
Soit \varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R} définie par : {\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}
Pour quels {\lambda\in\mathbb{R}} l’application \varphi_a est-elle un produit scalaire?
Inégalité et norme euclidienne
Soient x,y dans {E} préhilbertien réel.
Montrer que : {2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}
Montrer que : {2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}
Projecteurs de somme IdE
Soit {E} un {\mathbb{K}}-ev de dimension finie, et {p_1,\ldots,p_n} des projecteurs tels que {\sum_{j=1}^n p_j=\text{Id}_E}.
Montrer que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}\text{Im}(p_i)}, et {i\ne j\Rightarrow p_i p_j=0}.
Montrer que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}\text{Im}(p_i)}, et {i\ne j\Rightarrow p_i p_j=0}.
Rang d’une matrice à paramètre
Calculer le rang de {A=}{\begin{pmatrix}a^2 & a & 2 & 2a \\a & a^2 & 2a & 2 \\2 & 2a & a^2 & a \\2a & 2 & a & a^2\end{pmatrix}}
Déterminant et produit de Kronecker
Pour {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{K})}, {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, soit {A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}.
Établir que {\det(A\otimes M)=(\det A)^n(\det M)^2}