Inverse d’une matrice 4×4
Soit {A=}{\begin{pmatrix}1&1&1&1\cr1&1&-1&-1\cr1&-1&1&-1\cr1&-1&-1&-1\end{pmatrix}}. Calculer {A^2,A^3} puis {A^{-1}}.
Mpsi Pcsi
Petit lemme des noyaux
Soit {f\in\mathcal{L}(E)} et {\alpha\ne\beta} dans {\mathbb{K}}. Montrer que:
{\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\[3pts]\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}
{\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\[3pts]\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}
Grassmann pour trois sous-espaces?
Soit {F,G,H} trois sous-espaces d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E} de dimension finie.
Y a-t-il un analogue de la formule de Grassmann pour \dim(F+G+H)?
Y a-t-il un analogue de la formule de Grassmann pour \dim(F+G+H)?
Transformations en somme directe
Soit {F_1,\ldots,F_p} des sous-espaces de {E} tels que {E=F_1+\cdots+F_p}. Montrer qu’il existe des sous-espaces {G_2,\ldots,G_p} de {E} tels que {G_j\subset F_j} et {E=F_1\oplus G_2\oplus\cdots\oplus G_p}.
Endomorphismes tels que f3 = Id
Dans un espace vectoriel E sur {\mathbb{K}}, on caractérise les endomorphismes f tels que {f^3=\text{Id}} par des sommes directes.
Sommes directes de polynômes
On définit les trois sous-espaces de {E=\mathbb{K}_3[X]} :
{\begin{cases}F=\{P\in E, P(0)=P(1)=P(2)=0\}\\G=\{P\in E, P(1)=P(2)=P(3)=0\}\\H=\{P\in E, P(X)=P(-X)\}\end{cases}}Caractériser {F\oplus G} et montrer {E=F\oplus G\oplus H}
{\begin{cases}F=\{P\in E, P(0)=P(1)=P(2)=0\}\\G=\{P\in E, P(1)=P(2)=P(3)=0\}\\H=\{P\in E, P(X)=P(-X)\}\end{cases}}Caractériser {F\oplus G} et montrer {E=F\oplus G\oplus H}
Supplémentaires isomorphes
Soit F un sous-espace d’un espace vectoriel E.
Montrer que les supplémentaires de F dans E sont isomorphes.
Montrer que les supplémentaires de F dans E sont isomorphes.
D’Alembert (ou pas)
Préciser la nature de {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n}, où : {\begin{array}{rl}u_{n}&=\dfrac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n\!-\!1)}{1\cdot5\cdot9\cdots(4n\!-\!3)}\\\\v_{n}&=\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\end{array}}
Une série à paramètres
Convergence (et somme éventuelle) de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\bigl(\sqrt{n}+a\sqrt{n\!+\!1}+b\sqrt{n\!+\!2}\bigr)}
Inégalités entre distances
Soit {x,y,z,t} quatre vecteurs d’un espace vectoriel normé E. Montrer que :
{\begin{array}{rl}\left\|{x\!-\!t}\right\|+\left\|{y\!-\!z}\right\|&\le\left\|{x\!-\!y}\right\|+\left\|{y\!-\!t}\right\|\\[6pts]&\quad+\left\|{t\!-\!z}\right\|+\left\|{z\!-\!x}\right\|\end{array}}
{\begin{array}{rl}\left\|{x\!-\!t}\right\|+\left\|{y\!-\!z}\right\|&\le\left\|{x\!-\!y}\right\|+\left\|{y\!-\!t}\right\|\\[6pts]&\quad+\left\|{t\!-\!z}\right\|+\left\|{z\!-\!x}\right\|\end{array}}
Quand le nombre d’urnes est infini
(Oral Centrale)
Pour {k\in [[1,p]]}, l’urne numéro {k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire {2n} boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu {n} boules noires? Quelle est sa limite quand p\to+\infty?
Pour {k\in [[1,p]]}, l’urne numéro {k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire {2n} boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu {n} boules noires? Quelle est sa limite quand p\to+\infty?
Une famille de matrices 3×3
(Oral Ccp)
On étudie la famille des matrices M(a)={\begin{pmatrix}1-2a & a & a \\ a & 1-2a & a \\ a & a & 1-2a \end{pmatrix}}.
On étudie la famille des matrices M(a)={\begin{pmatrix}1-2a & a & a \\ a & 1-2a & a \\ a & a & 1-2a \end{pmatrix}}.
Caractérisation de somme directe
Soit {A,B,C,D} des sous-espaces vectoriels de {E}.
Montrer que {A+B+C+D} est directe si et seulement si : {\begin{array}{l}(A\!+\!B)\cap(C\!+\!D)=(A\!+\!C)\cap(B\!+\!D)\\\quad=(A\!+\!D)\cap(B\!+\!C)=\{0\}\end{array}}
Montrer que {A+B+C+D} est directe si et seulement si : {\begin{array}{l}(A\!+\!B)\cap(C\!+\!D)=(A\!+\!C)\cap(B\!+\!D)\\\quad=(A\!+\!D)\cap(B\!+\!C)=\{0\}\end{array}}
Un polynôme scindé simple
(oral Ccp)
Montrer que {P_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{X^{k}}{k!}} n’a que des racines simples.
Montrer que {P_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{X^{k}}{k!}} n’a que des racines simples.
Polynômes et divisibilité
(oral Ccp)
Trouver les polynômes {A} tels que {(X\!-\!1)^{4}\mid A\!+\!1} et {(X\!+\!1)^{4}\mid A\!-\!1}
Trouver les polynômes {A} tels que {(X\!-\!1)^{4}\mid A\!+\!1} et {(X\!+\!1)^{4}\mid A\!-\!1}
Deux isométries de l’espace
(Oral Ccp)
Identifier {\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}} et {\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}
Identifier {\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}} et {\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}
Matrice de projection orthogonale
Matrice de la projection orthogonale de {\mathbb{R}^{4}} sur {F:\begin{cases}x+y+z+t=0\\x-y+z-t=0\end{cases}}
Deux suites adjacentes
(oral Ccp)
Montrer que {n\mapsto 2\sqrt{n}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} et {n\mapsto 2\sqrt{n\!+\!1}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} sont adjacentes.
Montrer que {n\mapsto 2\sqrt{n}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} et {n\mapsto 2\sqrt{n\!+\!1}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} sont adjacentes.
Équivalent d’une somme
(oral Ccp)
Trouver la constante K telle que {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{\sqrt k}\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\sim}K\sqrt{n}}.
Trouver la constante K telle que {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{\sqrt k}\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\sim}K\sqrt{n}}.
Vidages d’urnes bicolores
(Oral Centrale)
Une urne contient {b} boules blanches et {n-b} rouges.
On les tire successivement et sans remise.
On note {C} le nombre de changements de couleur. Calculer {E(C)} et {V(C)}.
Une urne contient {b} boules blanches et {n-b} rouges.
On les tire successivement et sans remise.
On note {C} le nombre de changements de couleur. Calculer {E(C)} et {V(C)}.