Exercices sur le produit vectoriel

Exercice 1.
Soient {u,v,w} trois vecteurs quelconque de {E_{3}} euclidien orienté.
Montrer l’égalité suivante, dite « formule du double produit vectoriel » : {u\wedge(v\wedge w)=\left({u}\mid{w}\right)v-\left({u}\mid{v}\right)w}
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Exercice 2.
Soient {u,v,w} dans {E_{3}} euclidien orienté.
Montrer: {[\,u\wedge v,v\wedge w,w\wedge u\,]=[\,u,v,w\,]^2}
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Exercice 3.
Soit {E} euclidien orienté de dimension {3}.
Soit {a,b} dans {E}, avec {a\ne0}.
Déterminer les {u\in E} tels que {a\wedge u=b\ (\star)}.
C’est le « problème de la division vectorielle ».
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Exercice 4.
Soit {a\ne0} dans {E_{3}} euclidien orienté.
Soit {f\colon x\mapsto x + a\wedge x}.

  1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de {f}.
  2. Déterminer un polynôme annulateur de {f} (considérer {g\colon x\mapsto a\wedge x}).

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