Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Une bijection lipschitzienne

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel normé.Pour

{x\in E}

, on pose

{f(x)=\dfrac{x}{1+\Vert x\Vert}}

.Montrer que

{f}

est une bijection de

{E}

sur la boule unité ouverte

{B}

, et que

{f}

est lipschitzienne.

➡️

Deux normes équivalentes

(Oral Mines-Ponts)
On note

{E=\mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R})}

.
Soit

{\varphi \in E}

telle que

{J=\displaystyle\int_{0}^{1}\varphi (t)\mathrm{d}t\neq 0}

.
Pour toute

{f\in E}

, on pose :

{\begin{array}{rl}N(f)&=|f(0)|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\\[9pt]N_{\varphi}(f)&=\left\vert \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\varphi (t)\mathrm{d}t\right|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\end{array}}

Montrer que

{N}

{N_{\varphi}}

sont des normes équivalentes.

➡️

Double minimisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})}

une matrice symétrique.
Soit

{\rho (A)=\max \{|\lambda|,\;\lambda \in\text{Sp}(A)\}}

.
Soit

{E}

l’ensemble des vecteurs propres unitaires de

{A}

. Pour

{X\in E}

, on pose :

{\begin{cases}F(A,X)=\inf \left\{\text{tr}(A-\mu\,XX^{\top})^{2},\;\mu\in\mathbb{R}\right\}\\[6pt]m(A)=\inf \{F(A,X),X\in E\}\end{cases}}

Montrer que

{m(A)=\text{tr}\left(A^{2}\right) -\rho\left(A^{2}\right)}

➡️

Conditions pour une isométrie

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, avec

{E}

euclidien.
Montrer que deux propriétés entraînent la troisième :

{(i)}

{u}

est une isométrie

{(ii)}

{u^{2}=-\text{Id}}

{(iii)}

{\forall\,x\in E,\;(u(x)\mid x) =0}

➡️

Conservation des distances et linéarité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
Soit

{f\colon E\to E}

vérifiant

{f(0)=0}

et :

{\forall\,(x,y)\in E^{2},\;\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|}

Montrer que

{(f(x)\mid f(y))=( x\mid y)}

Montrer que

{f}

est linéaire.

➡️

Nilpotent plus diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie.
Soit

{n}

un endomorphisme nilpotent de

{E}

.
Soit

{v\in\text{GL}(E)}

tel que

{vn=nv}

.
Montrer que

{\det(v+n)=\det(v)}

.
Soit

{d}

diagonalisable tel que

{dn=nd}

.
Montrer que

{\det(d+n)=\det(d)}

➡️

Polynôme annulateur et trace

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que :

{A^{4}+A^{3}+A^{2}+A+I_{n}=0}

On suppose

{\text{tr}(A)\in\mathbb{Q}}

. Montrer que

{4\mid n}

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Sous-espaces stables, commutant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\begin{pmatrix}{1} & {j} & {j^{2}} \\ {j} & {j^{2}} & {1} \\ {j^{2}} & {1} & {j}\end{pmatrix}}

, où

{j=\text{e}^{2i\pi/3}}

.
La matrice

{A}

est-il diagonalisable ?
Déterminer les sous-espaces stables par

{A}

.
Déterminer la dimension de :

{\mathcal{C}_A=\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}

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Ordre d’une matrice entière de taille 2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}

, d’ordre fini

{k\ge1}

{A^{k}=I_n\;\text{et}\;\forall\,j\in[1,k[,\;A^{j}\neq I_n}

Que dire de

{A}

, en termes de réduction ?
Préciser les ordres possibles de

{A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})}

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À la manière du déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{D :E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\to\mathbb{\mathbb{K}}}

non constante.
On suppose que :

{\forall\,(A,B)\in E^2,\;D(AB)=D(A)D(B)}

.
Montrer que

{A\in E}

est inversible

{\Leftrightarrow D(A)\neq 0}

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Essouflement des noyaux

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie.
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

. On note

{\begin{cases}n_k=\dim\text{Ker} (u^k)\\ d_k=n_{k+1}-n_{k}\end{cases}}

Montrer que

{(d_k)}

est décroissante.

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Projecteur composé de nilpotents

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{1\le i,j,k\le n}

, soit

{a_{ij}^{(k)}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i=j+k\\0\text{\ sinon}\end{cases}}

Soit

{A_{k}=\left(a_{ij}^{(k)}\right)_{1\leq i,j\leq n}}

. Calculer

{M_k=A_{k}^{\top}A_{k}}

.
Soit

{p\neq \text{Id}}

un projecteur de

{\mathbb{R}^{n}}

. Montrer que

{p}

est la composée de deux endomorphismes nilpotents.

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Intégrales et séries

(Oral Ensam)
On pose

{a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}

Montrer que

{(a_{n})}

est définie, et déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent de

{a_{n}}

.
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}

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Suite implicite et série

(Oral Inp)
Pour

{n\ge2}

, on pose

{f_{n}(x)=\text{e}^{x}+x-n}

.
Montrer que :

{\exists!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;f_{n}(u_{n})=0}

.
Déterminer un équivalent de

{u_{n}}

.
on pose

{v_{n}=u_{n}-a\ln(n)-\dfrac{b}{n}\ln(n)}

.
Trouver

{a,b}

tels que

{\displaystyle\sum v_{n}}

converge.

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Séries (plus ou moins) alternées

Six exercices sur le thème des séries numériques (plus ou moins) alternées.

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Une série de produits

(Oral Ccp)
Soit

{(a_{n})_{n\geq 1}}

une suite de

{\mathbb{R}^+}

.
On pose :

{u_{n}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right) \ldots \left(1+a_{n}\right)}}

Calculer

{u_{1}+u_{2}}

, et généraliser.
Montrer que la série

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}}

converge.
Calculer

{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}}

quand

{a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}}

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Nature de séries avec paramètres

Six exercices où il est question de déterminer la nature d’une série dont le terme général dépend de un ou deux paramètres.

➡️

Suites récurrentes et séries

Cinq exercices sur le thème « suites récurrentes et séries ». On étudie des séries numériques liées à une suite définie par une récurrence

{u_{n+1}=f(u_n)}

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Un calcul de somme de série

(Oral Tpe)
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}

, où

{u_n=\dfrac{1}{n(2n-1)2^n}}

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Des séries à somme entière

(Oral Ccp)
Pour

{p\in\mathbb{N}}

, justifier l’existence de

{S_{p}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^{p}}{2^{n}}}

.
Exprimer

{S_{p}}

en fonction de

{S_{0},\ldots,S_{p-1}}

.
Montrer que :

{\forall\,p\in\mathbb{N},\;S_{p}\in\mathbb{N}}

➡️