Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Rang d’une matrice par blocs

Soit

{M=\begin{pmatrix}A &B\\C&D\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{A\in{\text{GL}}_{p}(\mathbb{R})}

.
Montrer que :

{\text{rg}(M)=p\Leftrightarrow D=CA^{-1}B.\quad}

➡️

Un déterminant et un polynôme

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}}

distincts.
Calculer :

{P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}

➡️

Inversion d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}}

où

{m_{i,j}=0}

{j>i}

{m_{i,j}=\dbinom{i-1}{j-1}}

{j\leq i}

.
Calculer l’inverse

{M^{-1}}

de la matrice

M

➡️

La comète de Goldbach

La conjecture de Goldbach affirme que tout entier pair

{n\ge4}

peut s’écrire comme la somme de deux entiers premiers. On appelle comète de Goldbach le nuage des points

{(k,g(k))}

, où

{k}

décrit les entiers pairs dans un certain intervalle

{[4,n]}

et où

{g(k)}

désigne le nombre de façons d’écrire

{k}

comme la somme de deux nombres premiers. Dans cet article, on écrit les fonctions Python utiles pour produire le tracé de cette comète.

➡️

Suite d’intégrales et série

(Oral Ccp)
1. Intégrabilité des

{f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}}

sur

{]0,1[}

.
On note

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}

. Déterminer

{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}

.
2. Montrer que

{I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}

.
En déduire un équivalent de

{I_{n}}

➡️

Une série de fonctions

(Oral Centrale)
Soient

{p\in\mathbb{N}}

{f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^p e^{-nx}}

.
Domaine et dérivabilité de

{f}

. Équivalent en

{0^+}

➡️

Théorème de Darboux

Soit

{f}

une application dérivable sur

{[a,b]}

.
Montrer que

{f'}

prend toutes les valeurs comprises entre

{f'(a)}

{f'(b).\quad}

➡️

Une suite de fonctions

(Oral Ccp)
Soit, pour

{n\in\mathbb{N}^*}

{f_n:x\mapsto x\,n^{1-x^2}}

.
Convergence simple et uniforme de la suite

(f_n)_{n\geq 1\quad}

➡️

Produit de deux sous-groupes

Soient

{H}

{K}

deux sous-groupes d’un groupe

{G}

.
On note

{HK=\{hk, h\in H, k\in K\}}

{KH=\{kh, k\in K, h\in H\}}

.
Montrer :

{HK}

est un sous-groupe de

{G}

si et seulement si

{HK=KH}.

➡️

Une équation dans ℂ

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre dans

{\mathbb{C}}

{\biggl(\dfrac{1-iz}{1+iz}\biggr)^{n}=\dfrac{1-ia}{1+ia}\ }

(

{a \in\mathbb{R}}

{n\in\mathbb{N}^{*})}

➡️

Polynômes et dérivations

(oral Centrale)
Soient

{P\in\mathbb{R}[X]}

{Q=\displaystyle\sum_{k\ge0}P^{(k)}}

.
Montrer que si

{P}

est sans racine réelle alors

{Q}

aussi.

➡️

Polygônes réguliers

((Oral X-Cachan)
Soit

\omega=\text{e}^{2i\pi/n}

{W_{n}= (\omega^{r(s-1)})}

dans

{{\mathcal{M}}_{n-2,n}(\mathbb{C})}

.
1. Déterminer le rang de

{W_{n}}

.
2. Donner une base de

{\text{Ker}(W_{n})}

.
3. Caractériser les polygones réguliers à

{n}

sommets de sens direct.

➡️

Exp(A), avec A antisymétrique

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

.
1. Montrer :

{\exists\theta\in\mathbb{R},\;A^{3}=-\theta A}

.
2. Montrer :

{\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\theta)^{n-1}A^{2}}

.
3. On pose

{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}

.
Montrer que

{S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}}

existe.
Calculer

{(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}}

tel que

{S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}

➡️

Produits de sommes de puissances

(oral Centrale)
Soit

{(x,y,z)\in\,\mathbb{C}^3}

tel que

{x+y+z=0}

.
Montrer que :

{\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\times\dfrac{x^3+y^3+z^3}3.}

➡️

Un développement asymptotique

(oral Mines-Ponts)
On considère l’équation

(E_n):\text{e}^x=x^n

, avec

n\in\mathbb{N}

.
1. Montrer que pour

n

assez grand

(E_n)

a dans

{\mathbb{R}^{+*}}

deux solutions

{u_{n}\lt v_{n}}

.
2. Montrer que la suite

{(u_{n})}

converge vers une limite

{\ell}

que l’on précisera. Donner un équivalent de

{u_{n}-\ell}

quand

{n}

tend vers

{+\infty}

.
3. Calculer

{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}}

puis donner un équivalent de

{v_{n}}

quand

{n}

tend vers

{+\infty}

.
4. Donner un développement asymptotique à deux termes de

{v_{n}}

➡️

Un calcul de primitive

(oral Mines-Ponts)
Calculer une primitive de

{x\mapsto \sqrt{2+\tan^{2}(x)}}

➡️

Équation en arc tangente

(oral Mines-Ponts)
Résoudre dans

{\mathbb{R}}

{\arctan(x-1)+\arctan(x)+\arctan(x+1)=\dfrac{\pi}{2}}

➡️

Polynômes scindés simples

(oral Mines-Ponts)
Soit

{P(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\in \mathbb{R}[X]}

de degré

{n\ge 1}

, scindé simple dans

\mathbb{R}

.
Montrer que le polynôme

{P}

n’a pas deux coefficients consécutifs nuls.

➡️

Une équation fonctionnelle

(oral Mines-Ponts)
Trouver les

{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}

dérivables en 0 telles que:

{\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2},\;{f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)\quad(\star)}

➡️

Mouvement circulaire (bis)

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{X\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}}

une solution de

{(S):\;X'=AX}

, avec

{A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

antisymétrique.
1. Montrer que

{\left\|{X(t)}\right\|}

est constant
2. Si

{a\in\text{Ker}(A)}

, montrer que

{\left({X(t)}\mid{a}\right)}

est constant
3. En déduire que le mouvement de

{X(t)}

est circulaire

➡️