| (oral Mines-Ponts) Soit l’équation (E_n):\text{e}^x=x^n, où n\in\mathbb{N}. 1. Montrer que pour n assez grand (E_n) a dans {\mathbb{R}^{+*}} deux solutions {u_{n}\lt v_{n}}. 2. Montrer que la suite {(u_{n})} converge vers une limite {\ell} que l’on précisera. Donner un équivalent de {u_{n}-\ell} quand {n} tend vers {+\infty}. 3. Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}} puis donner un équivalent de {v_{n}} quand {n} tend vers {+\infty}. 4. Donner un développement asymptotique à deux termes de {v_{n}}. |