| (oral Mines-Ponts) Soit l’équation (E_n):\text{e}^x=x^n, où n\in\mathbb{N}. 1. Montrer que pour n assez grand (E_n) a dans {\mathbb{R}^{+*}} deux solutions {u_{n}\lt v_{n}}. 2. Montrer que la suite {(u_{n})} converge vers une limite {\ell} que l’on précisera. Donner un équivalent de {u_{n}-\ell} quand {n} tend vers {+\infty}. 3. Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}} puis donner un équivalent de {v_{n}} quand {n} tend vers {+\infty}. 4. Donner un développement asymptotique à deux termes de {v_{n}}. |
Voir aussi :
- Série entière et série numérique
- Équivalents et séries numériques
- Ordre minimal d’une récurrence linéaire
- Équivalent d’une somme alternée
- Une récurrence linéaire d’ordre 3
- Quiz (implications et équivalences)
- Équivalents et polynômes
- D’Alembert (ou pas)
- Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)n+a
- Sommes harmoniques et séries