Sous-espaces de matrices nilpotentes
(Oral Centrale) On s’intéresse ici à des sous-espaces de matrices carrées d’ordre {n} toutes nilpotentes, et à la dimension maximale d’un tel sous-espace.
Réduction
Matrices semblables par blocs
(Oral Centrale). Dans cet exercice, on étudie des conditions équivalentes pour que les matrices par blocs {((A,0),(0,0)) } et {((A,B),(0,0))} soient semblables.
Matrices semblables de rang 1 ou 2
(Oral Centrale) On s’intéresse à deux endomorphismes {u,v} de {E}, de même rang 1 ou 2. On étudie des conditions suffisantes pour que{u,v} soient semblables.
Matrices semblables à leur inverse
(Oral Centrale) On étudie des conditions pour que des matrices inversibles, de taille 2 ou 3, soient semblables à leur inverse.
Algorithme de Babylone matriciel
Oral Centrale) À partir d’une matrice carrée, on étudie la suite des itérées par la transformation {A\to(A+A^{-1})/2} (généralisation matricielle de l’algorithme de Babylone)
Suite récurrente et arithmétique
(Oral Centrale). On relie une suite récurrente d’ordre 5 à la trace des puissances d’une matrice. On en déduit une propriété arithmétique de cette suite.
Diagonalisation d’une matrice en Z
(Oral Centrale)
Soit {Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, définie par :{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}Prouver que {Z_n} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}
Procéder à la diagonalisation efffective de {Z_n}.
Donner l’exemple de {n=5} et {n=6}.
Soit {Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, définie par :{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}Prouver que {Z_n} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}
Procéder à la diagonalisation efffective de {Z_n}.
Donner l’exemple de {n=5} et {n=6}.
Nilpotent plus diagonalisable
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {n} un endomorphisme nilpotent de {E}.
Soit {v\in\text{GL}(E)} tel que {vn=nv}.
Montrer que {\det(v+n)=\det(v)}.
Soit {d} diagonalisable tel que {dn=nd}.
Montrer que {\det(d+n)=\det(d)}.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {n} un endomorphisme nilpotent de {E}.
Soit {v\in\text{GL}(E)} tel que {vn=nv}.
Montrer que {\det(v+n)=\det(v)}.
Soit {d} diagonalisable tel que {dn=nd}.
Montrer que {\det(d+n)=\det(d)}.
Polynôme annulateur et trace
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que :{A^{4}+A^{3}+A^{2}+A+I_{n}=0}On suppose {\text{tr}(A)\in\mathbb{Q}}. Montrer que {4\mid n}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que :{A^{4}+A^{3}+A^{2}+A+I_{n}=0}On suppose {\text{tr}(A)\in\mathbb{Q}}. Montrer que {4\mid n}.
Sous-espaces stables, commutant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=\begin{pmatrix}{1} & {j} & {j^{2}} \\ {j} & {j^{2}} & {1} \\ {j^{2}} & {1} & {j}\end{pmatrix}}, où {j=\text{e}^{2i\pi/3}}.
La matrice {A} est-il diagonalisable ?
Déterminer les sous-espaces stables par {A}.
Déterminer la dimension de :{\mathcal{C}_A=\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}
Soit {A=\begin{pmatrix}{1} & {j} & {j^{2}} \\ {j} & {j^{2}} & {1} \\ {j^{2}} & {1} & {j}\end{pmatrix}}, où {j=\text{e}^{2i\pi/3}}.
La matrice {A} est-il diagonalisable ?
Déterminer les sous-espaces stables par {A}.
Déterminer la dimension de :{\mathcal{C}_A=\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}
Ordre d’une matrice entière de taille 2
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, d’ordre fini {k\ge1}:{A^{k}=I_n\;\text{et}\;\forall\,j\in[1,k[,\;A^{j}\neq I_n}Que dire de {A}, en termes de réduction ?
Préciser les ordres possibles de {A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})}.
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, d’ordre fini {k\ge1}:{A^{k}=I_n\;\text{et}\;\forall\,j\in[1,k[,\;A^{j}\neq I_n}Que dire de {A}, en termes de réduction ?
Préciser les ordres possibles de {A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})}.
Matrices telles que A^T = A^2
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} telle que {A^{\top}=A^{2}}
Étudier la diagonalisation de {M=A^{\top}A}.
Montrer que {A} est orthogonalement semblable à l’une des cinq matrices indiquées.
Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} telle que {A^{\top}=A^{2}}
Étudier la diagonalisation de {M=A^{\top}A}.
Montrer que {A} est orthogonalement semblable à l’une des cinq matrices indiquées.
B polynôme en A ⇒ A polynôme en B ?
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} une matrice diagonalisable.
Soit {B=A^{3}+A+I_{n}}.
Si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, montrer que {A} est un polynôme en {B}.
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{C}}?
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, mais que {A} n’est pas supposée diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}?
Soient {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} une matrice diagonalisable.
Soit {B=A^{3}+A+I_{n}}.
Si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, montrer que {A} est un polynôme en {B}.
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{C}}?
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, mais que {A} n’est pas supposée diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}?
Conditions de diagonalisabilité (ou pas)
(Oral CCInp)
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}, avec {n\ge2}.
On suppose {f^{4}= f^{2}}, et {(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}.
L’endomorphisme {f} est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant {(\star)} par {\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}?
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}, avec {n\ge2}.
On suppose {f^{4}= f^{2}}, et {(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}.
L’endomorphisme {f} est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant {(\star)} par {\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}?
Sur les matrices de rang 1
(Oral CCInp)
Soit {H\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, de rang {1}, de trace {\delta}.
Montrer que {H^{2}=\delta H}. Préciser {\chi_H}.
Si {H+I_{n}} est inversible, calculer {(H+I_{n})^{-1}}.
Soit {H\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, de rang {1}, de trace {\delta}.
Montrer que {H^{2}=\delta H}. Préciser {\chi_H}.
Si {H+I_{n}} est inversible, calculer {(H+I_{n})^{-1}}.
Un exemple de trigonalisation
(Oral Mines-Ponts)
Soit {u\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^3)} tel que {u^2\ne 0} et {u^5=0}.
Montrer qu’il existe une base de {\mathbb{R}^3} dans laquelle la matrice de {u} est : {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.
Soit {u\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^3)} tel que {u^2\ne 0} et {u^5=0}.
Montrer qu’il existe une base de {\mathbb{R}^3} dans laquelle la matrice de {u} est : {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.
Un critère de diagonalisabilité
Oral Centrale
Soient {E} un espace vectoriel de dimension finie et {f} un
endomorphisme de {E}. Montrer que {f} est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace de {E} possède un supplémentaire stable par {f}.
Soient {E} un espace vectoriel de dimension finie et {f} un
endomorphisme de {E}. Montrer que {f} est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace de {E} possède un supplémentaire stable par {f}.
Un critère de non diagonalisabilité
(Oral Mines-Ponts)
Soient {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension finie et {u\in\mathcal{L}(E)}. On montre que {u} est non diagonalisable si et et seulement s’il vérifie la propriété : il existe un plan {P} de {E} stable par {u} et une base de {P} dans laquelle la matrice de l’endomorphisme induit par {u} s’écrit {\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}}.
Soient {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension finie et {u\in\mathcal{L}(E)}. On montre que {u} est non diagonalisable si et et seulement s’il vérifie la propriété : il existe un plan {P} de {E} stable par {u} et une base de {P} dans laquelle la matrice de l’endomorphisme induit par {u} s’écrit {\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}}.
Racine n-ième d’une rotation
(Oral Mines-Ponts)
Sent {M\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\;n\in \mathbb{N}} avec {M^{n}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}}.
Soit {\theta_{k}=\frac{(2k+1)\pi}{2n}} et {R_{k}=\begin{pmatrix}\cos\theta_{k} & -\sin\theta_{k} \\\sin\theta _{k} & \cos\theta _{k}\end{pmatrix}}.
Montrer : {\exists\,Q\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}),\exists\,k\in \mathbb{N},\;Q^{-1}MQ=R_{k}}.
Sent {M\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\;n\in \mathbb{N}} avec {M^{n}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}}.
Soit {\theta_{k}=\frac{(2k+1)\pi}{2n}} et {R_{k}=\begin{pmatrix}\cos\theta_{k} & -\sin\theta_{k} \\\sin\theta _{k} & \cos\theta _{k}\end{pmatrix}}.
Montrer : {\exists\,Q\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}),\exists\,k\in \mathbb{N},\;Q^{-1}MQ=R_{k}}.
Racines carrées matricielles
(Oral Mines-Ponts)
Pour {A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}, on note :{E_A=\{B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;B^{2}=A\}}Trouver les {A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})} telles que {E_A} soit fini non vide.
Que dire alors de {\text{Card}(E_A)} ?
Pour {A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}, on note :{E_A=\{B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;B^{2}=A\}}Trouver les {A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})} telles que {E_A} soit fini non vide.
Que dire alors de {\text{Card}(E_A)} ?