Mpsi Pcsi
Des centaines d’exercices corrigés pour les classes de Math Sup Mpsi et Pcsi

Intégrale fonction de ses bornes

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\displaystyle\int_{x}^{x^{2}}\dfrac{\,\text{d}t}{\ln t}}

.
Montrer que

{f}

est prolongeable par continuité sur

{\mathbb{R}_{+}}

.
Montrer que ce prolongement est

{C^{\infty }}

sur

{\mathbb{R}_{+}^{\ast}}

mais pas sur

{\mathbb{R}_{+}}

.

Fonctions additives bornées à l’origine

(Oral Centrale)
Soit

{f\colon\mathbb{R}\in\mathbb{R}}

telle que :

{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;f(x+y)=f(x)+f(y)}

Déterminer

{f(0)}

. Pour

{x\in\mathbb{R}}

et

{\lambda\in\mathbb{Q}}

, exprimer

{f(\lambda x)}

en fonction de

{f(x)}

.
On suppose

{f}

continue en

{0}

. Montrer que

{f}

est continue sur

{\mathbb{R}}

. Dans ce cas, déterminer

{f}

.
Idem avec

{f}

bornée au voisinage de

{0}

.

Majoration des racines d’un polynôme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}\in \mathbb{C}[X]}

.
On pose

{A=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}

.
Soit

{z}

une racine de

{P}

.
Montrer que

{|z|\leq \max \{1,\ A\}}

.

Une décomposition en éléments simples

(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe un unique polynôme

{P_n}

tel que :

{P_{n}\Big(X+\dfrac{1}{X}\Big)=X^{n}+\dfrac{1}{X^{n}}}

Décomposer

{1/P_{n}}

en éléments simples.

Polynômes scindés simples (ou pas)

(Oral Centrale)
Soit

{P\in\mathbb{K}[X]\setminus\mathbb{K}}

. Existe-t-il toujours

{\lambda\in\mathbb{K}}

tels que

{P(X)-\lambda}

soit scindé simple dans

{\mathbb{K}[X]}

? (distinguer

{\mathbb{K}=\mathbb{R}}

puis

{\mathbb{K}=\mathbb{C}}

).

Opérateur Delta sur les polynômes

(Oral Centrale)
Sur

{\mathbb{R}_{n}[X]}

, avec

{n\ge1}

, on pose

{\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}

Montrer que

{\Delta}

est nilpotent. En déduire :

{\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}

Suites arithmétiques ou géométriques (2)

Exercices sur le thème « suites arithmétiques ou géométriques ».

Le second degré

Huit exercices sur les questions (pas toujours évidentes) relatives aux racines des polynômes du second degré et à leurs propriétés

Dérivées et tracés rapides

Quelques exercices de calculs de dérivées et de tracés de fonctions numériques, dans des cas simples.

Petits calculs rapides

Un éventail de questions simples, à traiter le plus vite possible (« de tête » ou avec un minimum d’écriture). Visez toujours la rapidité d’exécution.

Raisonnements par l’absurde

Quelques exercices illustrant le raisonnement par l’absurde.

Raisonnements divers

Six exercices illustrant divers aspects du raisonnement mathématique.

Raisonnements de graphes

Quelques exercices de logique dont la solution nécessite un raisonnement en termes de graphes.

Récréations logiques

Quelques exercices de logique amusante.

Conditions nécessaires ou suffisantes

Quelques exercices sur les notions de condition nécessaire ou suffisante en logique mathématique.

Logique et suites numériques

On étudie ici les liens logiques entre propriétés des suites de réels, ainsi que l’utilisation des quantificateurs pour décrire ces propriétés.

Médecins fous, patients sains

Problème de logique: vous inspectez un hôpital psychiatrique où les médecins et les patients sont indifféremment sains d’esprit ou totalement fous.

Un problème empoisonnant

Un problème de logique. Lors de ses aventures au pays des merveilles, Alice doit résoudre les énigmes posées par le chat de Cheshire.

Un problème archéo-logique

Un problème de logique. Vous êtes archéologue et avez découvert le tombeau d’un Pharaon. Pour rejoindre l’air libre, vous allez devoir résoudre des énigmes.

Le professeur menteur

Un problème de logique où il est question d’une école d’informatique et de trois professeurs, dont l’un donne des consignes contradictoires (mais lequel?)