Raisonnements par l’absurde

Exercice 1.
On pose {u_0>0} et {u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{u_n}} pour tout {n}. Montrer que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}.
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Exercice 2.
Montrer qu’il n’y a pas de nombre complexe {z} tel que {|z|=1} et {z^{2018}=(1+z)^{2018}}.
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Exercice 3.

  1. Montrer que {1234567894} n’est pas la somme de deux carrés (réfléchir modulo {8}).
  2. Montrer que {12233344} n’est pas la somme de trois cubes (réfléchir modulo {9}).

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Exercice 4.
Trouver la seule fonction strictement croissante {f:[0,1]\to[0,1]} avec {\forall x\in [0,1],\;f(f(x))=x.}
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Exercice 5.
Prouver qu’il n’existe pas de fonction {f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}}, telle que : {\forall\, x\in\mathbb{Z},\;f(f(x)) = x + 1}.
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