Raisonnements par l'absurde

Exercices corrigés

Exercice 1.
On pose

{u_0>0}

{u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{u_n}}

pour tout

{n}

. Montrer que

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}

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Exercice 2.
Montrer qu’il n’y a pas de nombre complexe

{z}

tel que

{|z|=1}

{z^{2018}=(1+z)^{2018}}

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Exercice 3.

Montrer que ${1234567894}$ n’est pas la somme de deux carrés (réfléchir modulo ${8}$ ).
Montrer que ${12233344}$ n’est pas la somme de trois cubes (réfléchir modulo ${9}$ ).

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Exercice 4.
Trouver la seule fonction strictement croissante

{f:[0,1]\to[0,1]}

avec

{\forall x\in [0,1],\;f(f(x))=x.}

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Exercice 5.
Prouver qu’il n’existe pas de fonction

{f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}}

, telle que :

{\forall\, x\in\mathbb{Z},\;f(f(x)) = x + 1}

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