Mpsi Pcsi
Des centaines d’exercices corrigés pour les classes de Math Sup Mpsi et Pcsi

Une simple curiosité

(Oral Mines-Ponts 2018)
On observe les égalités:

{9\times 1+2=11,\;9\times12+3=111,\;9\times 123+4=1111}

Quelle généralisation peut-on imaginer ? Démontrer cette conjecture.

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4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})}

avec

{4A^{3}+2A^{2}+A=0}

. Que dire de

{A}

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Suites polynomiales d’entiers

(Oral Centrale Mp)
Caractérisation des « suites polynomiales d’entiers »

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Polynômes stables

(Oral Centrale Mp)
Polynômes stables

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Dérivée n-ième de f(x)=1/(1+e^x)

(Oral Centrale Mp)
Expression de la dérivée

{n}

-ième de

{f(x)=\dfrac{1}{1+\text{e}^x}}

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Points entiers sur une cubique

(Oral Centrale Mp)
Points à coordonnées entières sur la cubique x^3+y^3=a ( a entier >0)

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Résolution d’un système tridiagonal

(Oral Centrale Mp)
Résolution itérative d’un système linéaire tridiagonal

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Somme des inverses des « k parmi n »

(Oral Centrale Mp)
Étude de la somme des inverses des

{\dbinom{n}{k}}

, pour

{0\le k\le n}

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Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)^n+a

(oral Centrale Mp)
Pour tout réel

{a}

, on sait que la suite

{n \mapsto (1+1/n)^{n+a}}

tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre

{a}

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Un algorithme de Lehmer

(Centrale Mp) Un algorithme de Lehmer de décomposition de arctan(a/b).

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Approximants de Padé de exp(x)

(Oral Centrale Mp)
Approximants de Padé de exp(x)

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Suite presque toujours périodique

(oral Centrale Mp)
Pour

a\gt 1

, on étudie la suite

{u_1=2}

{u_{n+1}=2-a/u_{n}}

, à valeurs dans

{\mathbb{R}\cup\{\infty\}}

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Les racines du polynôme dérivé

(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de

{P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}

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Dans une quartique, le nombre d’or

(Oral Centrale Mp)
Le nombre d’or caché dans la sécante joignant deux inflexions d’une quartique.

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Une base de K_n[X]

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{P\in \mathbb{K}[X]}

, de degré

{n}

, et soient

{a_{0},...,a_{n}}

distincts dans

{\mathbb{K}}

.
Montrer que les polynômes

{P_j(X)=P(X+a_{j})}

forment une base de

{\mathbb{K}_{n}[X]}

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Une factorisation de polynôme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{n\in \mathbb{N}^{\ast }}

. On considère le polynôme :

{\begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+\cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}\end{array}}

Trouver les racines de

{P_n}

et le factoriser dans

{\mathbb{C}[X]}

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Dénombrements de parties (2/2)

Exercices sur le thème « dénombrements de parties d’un ensemble » (2/2)

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Dénombrements de parties (1/2)

Exercices sur le thème « dénombrements de parties d’un ensemble » (1/2)

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Dénombrements d’applications

Exercices sur le thème « dénombrements d’applications »

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Dénombrements divers (2/2)

Exercices sur le thème « dénombrements divers » (2/2)

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