Un problème empoisonnant

Exercice (un problème empoisonnant)
Lors de ses aventures au pays des merveilles, Alice est accompagnée par le chat de Cheshire, qui s’exprime par des affirmations énigmatiques mais vraies.

Alice se trouve dans un corridor dont la seule issue est une porte trop petite pour elle.

Elle voit trois flacons (un rouge, un jaune, un bleu) et sur chacun d’eux une étiquette.

Le chat dit à Alice : « Tu n’as le droit de boire que dans un flacon. Un seul flacon contient le liquide pour te rapetisser, et les deux autres peuvent contenir un poison fatal ».

Voici ce qui est écrit (mais attention, chaque inscription peut-être vraie ou fausse) :

– Flacon rouge: « le flacon jaune contient un poison, mais pas le flacon bleu. ».
– Flacon jaune: « si le flacon rouge contient un poison, alors le flacon bleu aussi ».
– Flacon bleu : « je ne contiens pas un poison, mais le rouge ou le jaune oui ».

On note {R} (resp. {J}, {B}) les propositions affirmant que le flacon rouge (resp. jaune, bleu) contient un poison, et {I_R,I_J,I_B} les propositions (fonctions de {R,J,B}) inscrites sur les flacons.

  1. Exprimer {I_R}, {I_J} et {I_B} sous forme logique en fonction de {R,J,B}.
  2. Si le chat annonce « toutes les inscriptions sont vraies », Alice va-t-elle s’en sortir?
  3. Et s’il annonce « seuls les flacons ne contenant pas de poison ont une inscription vraie » ?

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.