Conditions nécessaires ou suffisantes

Exercice 1.
On désigne par {A,B,C,D} des parties quelconques d’un ensemble {E}.
Que penser des propositions suivantes?

  1. Si {A\subset B\cup C}, alors ({A\subset B} ou {A\subset C})
  2. Si {A\subset B\cap C}, alors ({A\subset B} et {A\subset C})
  3. Si {B\cup C\subset A}, alors ({B\subset A} et {C\subset A})
  4. Si {A\cup B\subset A\cap B}, alors {A=B}
  5. Si {A\subset B,\;B\subset C,\;C\subset D,\;D\subset A}, alors {A\cap C=B\cap D}.
  6. Si {A\subset B} et {C\subset D}, alors {A\cap C\subset B\cap D}
  7. Si {A\subset B} et {C\subset D}, alors {A\cup C\subset B\cup D}
  8. Si {\{x,y\}=\{2,3\}}, alors {10x+y=23}
  9. Si {\{x,y,z\}=\{2,3,5\}}, alors {xyz=30}
  10. Pour tout réel {x} vérifiant {x^2+x+1=0}, on a {x^2\lt 0}.

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Exercice 2.
Que penser des propositions suivantes?

  1. Il faut qu’un réel {x} soit strictement supérieur à {2} pour qu’il soit supérieur ou égal à {3}.
  2. Il suffit qu’un réel {x} soit inférieur égal à {-1} pour que son carré soit supérieur ou égal à {1}.
  3. Pour qu’un réel {x} soit supérieur à {2} il suffit que {x^2} soit supérieur à {4}.
  4. Si {n} est un entier naturel, une condition nécessaire de {n>0} est {n\ge 1}.
  5. Si {n} est un entier relatif, une condition nécessaire de {n>0} est {n\ge 1}.
  6. Si {x} est un réel, on a {x^2>x} si et seulement si {x^4>x^2}.
  7. La proposition {x^3>x>0} est équivalente à {x>1}.
  8. La proposition {x=\sqrt{5x-6}} équivaut à {x^2=5x-6}, qui équivaut à {x\in\{2,3\}}.
  9. La proposition {x=\sqrt{x+2}} équivaut à {x^2=x+2}, qui équivaut à {x\in\{-1,2\}}.
  10. Pour tout réel {x}, on a {x^4>x-1}.

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.