Exercice (le professeur menteur)
Dans l’école dont vous rêvez, l’enseignement de logique est dispensé par trois professeurs.
Les examens de fin de trimestre se composent de plusieurs problèmes, qui ne sont pas nécessairement tous à traiter.
Avant tout examen, chaque professeur donne une consigne concernant ce qu’il faut traiter, mais l’un des deux ment, les deux autres disent vrai.
Attention, d’un examen à l’autre, le menteur n’est pas toujours le même!
- On note {A_1}, {A_2} et {A_3} les propositions traduisant les affirmations (dans l’ordre donné) des trois professeurs. Écrire une formule {F} traduisant la règle « un professeur ment, les deux autres disent vrai », sous la forme d’une disjonction {F=F_1\vee F_2\vee F_3}.
- Pour l’examen du premier trimestre, il y a deux problèmes notés (P) et (Q).
Voici les consignes des trois professeurs:
– 1er professeur : « Si (P) est à traiter, alors (Q) aussi ».
– 2ème professeur : « (P) et (Q) sont à traiter ».
– 3ème professeur : « (Q) est à traiter ».
On note {P} (resp. {Q}) la proposition « le problème (P) (resp. (Q)) est à traiter ».
Expliciter {A_1,A_2,A_3} à l’aide de {P} et {Q}.
Dire le ou les problèmes à traiter (on s’intéressera séparément à {F_1}, {F_2} et {F_3}).
- Pour l’examen du deuxième trimestre, il y a trois problèmes (P), (Q), (R).
Voici les trois consignes:
– 1er professeur : il est faux que si (P) est à traiter, alors (Q) l’est aussi.
– 2ème professeur : (Q) est à traiter, mais pas (R).
– 3ème professeur : un seul sujet est à traiter, et ce n’est pas (Q).
Expliciter {A_1,A_2,A_3} à l’aide de {P}, {Q} et {R}.
Dire le ou les problèmes à traiter.
- Pour l’examen du troisième trimestre, il y a encore trois problèmes (P), (Q) et (R).
Voici les trois consignes :
– 1er professeur : si (P) est à traiter, alors (Q) aussi.
– 2ème professeur : (R) est à traiter si et seulement si (P) et (Q) sont à traiter.
– 3ème professeur : si au moins un problème est à traiter, alors (R) est à traiter.
Cette fois on n’arrive pas à conclure. Donner les possibilités pour les problèmes à traiter.
On demande au troisième professeur si le sujet (P) est à traiter. Il répond (mais attention, il est entendu que son rôle de menteur ou non-menteur pour ce troisième examen reste inchangé pour sa réponse). L’histoire dit seulement que les bons élèves arrivent à conclure.
Dire maintenant le ou les problèmes à traiter.
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