Raisonnements divers

Exercice 1. (point à coordonnées entières)
Dans le plan, on se donne cinq points {P_1}, {P_2}, {P_3}, {P_4}, {P_5} ayant des coordonnées entières.
Prouver que l’un au moins des intervalles {]P_i,P_j[} contient un point à coordonnées entières.
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Exercice 2. (un chemin optimal)
On se donne le tableau triangulaire suivant:
{\small\begin{matrix} 84 \cr 55\ \ 36 \cr 94\ \ 22\ \ 68 \cr 27\ \ 12\ \ 80\ \ 58 \cr 38\ \ 65\ \ 87\ \ 57\ \ 80 \cr 74\ \ 12\ \ 96\ \ 42\ \ 87\ \ 70 \cr 38\ \ 86\ \ 26\ \ 90\ \ 97\ \ 84\ \ 15\end{matrix}\small}On forme tous les chemins possibles depuis le sommet jusqu’à la base, en choisissant à chaque fois de descendre soit vers la gauche, soit vers la droite.

Un exemple de chemin est : {84\to 36\to 22\to 12\to 87\to42\to97}On fait la somme des nombres d’un chemin donné. Quelle est la somme maximum?

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Exercice 3. (pigeonhole)
Soit {A} une partie de {\{1,2,\ldots,2n\}}.
On suppose que {\text{card}(A)=n+1}.
Montrer qu’il existe {a\ne b} dans {A} tels que {a\mid b}.
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Exercice 4.
On appelle E l’ensemble des triplets {(x, y, z)} de réels strictement positifs tels que : {xyz > 1\;\text{et}\;x + y + z \lt \dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z}Soit {(a, b, c)} un élément de {E}.

  1. Démontrer que {\text{max}(a, b, c) > 1}.
  2. Démontrer que {\text{min}(a, b, c) \lt 1}.
  3. Montrer que {a,b,cc} sont tous différents de {1}.
  4. Déterminer les éléments de {E} qui sont de la forme {\Bigl(x,\dfrac1{2x},\dfrac1{2x}\Bigr),\;\text{où}\;x\in\mathbb{R}^{+*}}En déduire que {E} est infini.

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Exercice 5.
Soit {n} un carré parfait à quatre chiffres dans {[0,6]}.
Si on leur ajoute {3}, on obtient encore un carré parfait. Trouver {n}.
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Exercice 6.
Soit {a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n} dans {\mathbb{Z}}. Montrer qu’il existe une famille de {a_k} consécutifs dont la somme est divisible par {n}.
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