| Exercice 1. (point à coordonnées entières) Dans le plan, on se donne cinq points {P_1}, {P_2}, {P_3}, {P_4}, {P_5} ayant des coordonnées entières. Prouver que l’un au moins des intervalles {]P_i,P_j[} contient un point à coordonnées entières. |
| Exercice 2. (un chemin optimal) On se donne le tableau triangulaire suivant: {\small\begin{matrix} 84 \cr 55\ \ 36 \cr 94\ \ 22\ \ 68 \cr 27\ \ 12\ \ 80\ \ 58 \cr 38\ \ 65\ \ 87\ \ 57\ \ 80 \cr 74\ \ 12\ \ 96\ \ 42\ \ 87\ \ 70 \cr 38\ \ 86\ \ 26\ \ 90\ \ 97\ \ 84\ \ 15\end{matrix}\small}On forme tous les chemins possibles depuis le sommet jusqu’à la base, en choisissant à chaque fois de descendre soit vers la gauche, soit vers la droite. Un exemple de chemin est : {84\to 36\to 22\to 12\to 87\to42\to97}On fait la somme des nombres d’un chemin donné. Quelle est la somme maximum? |
| Exercice 3. (pigeonhole) Soit {A} une partie de {\{1,2,\ldots,2n\}}. On suppose que {\text{card}(A)=n+1}. Montrer qu’il existe {a\ne b} dans {A} tels que {a\mid b}. |
| Exercice 4. On appelle E l’ensemble des triplets {(x, y, z)} de réels strictement positifs tels que : {xyz > 1\;\text{et}\;x + y + z \lt \dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z}Soit {(a, b, c)} un élément de {E}.
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| Exercice 5. Soit {n} un carré parfait à quatre chiffres dans {[0,6]}. Si on leur ajoute {3}, on obtient encore un carré parfait. Trouver {n}. |
| Exercice 6. Soit {a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n} dans {\mathbb{Z}}. Montrer qu’il existe une famille de {a_k} consécutifs dont la somme est divisible par {n}. |