Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Moyenne de permutations

(Oral Centrale)
Soit

{(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})}

la base canonique de

{\mathbb{R}^{n}}

, et

S_n

l’ensemble des permutations de

[[1,n]]

.
Pour

{\sigma\in S_{n}}

soit

{f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}

définie par

{\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}

.
Identifier

{p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}

➡️

Comparaison de rayons de convergence

(Oral Centrale)
Soit

{(a_{n})}

une suite de complexes non nuls.
Comparer les rayons de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}}

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^{n}}{a_{n}}}

➡️

Réduction d’endomorphisme matriciel

(Oral Centrale)
Soit

A

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

. On étudie la diagonalisabilité, la trace, et le déterminant de l’endomorphisme

\varphi

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

défini par

{\varphi(M)=M + \text{tr}(AM)A^\top}

➡️

Somme d’une série de fonctions

(Oral Centrale)
Étude de la série de fonctions

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}

➡️

Une somme de série entière

(Oral Centrale)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}}

➡️

Matrices à diagonale propre

(Oral Centrale)
On dit que

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

vérifie

{(\mathcal{P})}

si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété

{(\mathcal{P})}

soit vérifiée.

➡️

Fonction d’une loi de Poisson

(Oral Centrale)
Soit

{X}

une v.a.r. telle que

{X\leadsto \mathcal{P}(\lambda)}

.
Si

{X}

est paire, on pose

{Y = X\text{/}2}

, et

{Y=0}

sinon.
Donner la loi de

{Y}

, son espérance et sa variance.

➡️

Minimum d’une forme quadratique

(Oral X-Cachan Psi)
On se donne un produit scalaire sur

\mathbb{R}^n

, un vecteur

v

\mathbb{R}^n

, une matrice

A

\mathcal{M}_n(\mathbb{R)}

, et

f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}

définie par

{f(X)=\dfrac{1}{2}\left\|D_{1}X\right\|^{2}-\left(V\mid X\right)}

.
On montre que

f

possède un minimum absolu sur

\mathbb{R}^n

et en on calcule la valeur.

➡️

Sommes de projecteurs

(Oral X-Cachan)
Dans cet exercice, on établit l’équivalence de conditions pour qu’une matrice carrée

A

puisse s’écrire comme la somme de

k

matrices de projections

A_1,A_2,\ldots,A_k

vérifiant les égalités

A_iA_j=0

pour tous

i\ne j

➡️

Valeurs d’adhérence

(Oral X-Cachan Psi)
On définit l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite complexe bornée

(u)

. On montre qu’il fermé non vide, et se réduit à un singleton si et seulement si

(u)

converge. On étudie enfin le cas des suites définies par une récurrence du type

u_{n+1}=f(u_n)

➡️

Chebyshev et produit scalaire

(Oral X-Cachan Psi)
On munit

{{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})}

du produit scalaire

{\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}

On définit les

{U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}

.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin

{f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}}

par un polynôme de degré

{\le 2}

➡️

Endomorphisme et crochet de Lie

(Oral X-Cachan Psi)
Pour

{A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

on pose

{[A,B ] = AB -BA}

.
On étudie

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))}

tel que :

{\forall (A,B),\;\varphi([A,B]) = [\varphi(A),B]}

➡️

Diagonalisation de M->AM+MB

(Oral X-Cachan Psi)
Soient

{A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, diagonalisables dans

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

.
Soit

\varphi_{A,B}

l’endomorphisme de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

défini

\varphi_{A,B}(M)=AM+MB

.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme

\varphi_{A,B}

est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.

➡️

Un développement en série entière

(Oral X-Cachan Psi)
On forme la série génératrice attachée à une suite

(c_n)

définie par convolution avec les coefficients d’un polynôme

P

. En utilisant la factorisation de

P

, on trouve l’expression des

c_n

et le rayon de convergence de

f

➡️

Une série de produits

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{\varphi\in\mathcal{C}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}

, avec un DL à tout ordre en

1/x

.
On étudie la convergence de la série des

{p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)}

.
On applique ce résultat quand

\varphi(x)=2-\text{e}^{-\alpha/x}

➡️

Un opérateur « valeur moyenne »

(Oral X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale)
Soit

{E}

l’ensemble des fonctions continues de

{\mathbb{R}^{+*}}

dans

{\mathbb{R}}

.
Soit

{T\colon E\rightarrow E}

, défini par

{T(f)(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}

.
On étudie les éléments propres de

{T}

➡️

Écriture binaire d’un nombre réel

(Oral X-Cachan Psi)
On pose

{x \in[0,1[}

{x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}

Puis

{x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor}

, où

{S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}

.
On étudie la convergence de la suite

(S_n)

vers

x

, et l’unicité de la représentation.

➡️

Équation fonctionnelle f(qz)-f(z)=g(z)

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{\left\|x\right\|=d(x,\mathbb{Z}}

(distance distance à

{\mathbb{Z}}

).
Soit

{E}

l’ensemble des

{f\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}}

DSE de rayon

+\infty

.
Soient

{g\in E}

{q\in\mathbb{C}}

, et l’équation :

{(\star)\;\forall\,z\in\mathbb{C},\;f(qz)-f(z)=g(z)}

où

{f}

est cherchée dans

{E}

.
Selon

q

, on étudie l’existence d’un solution à (*).

➡️

Minimum d’une intégrale à paramètre

(Oral X-Cachan Psi)
On pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{x}(1+t)}}

.
Étudier

{f}

sur son domaine, et trouver son minimum.

➡️

Demi-dérivée d’une fonction continue

(Oral X-Cachan)
Si

{f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+}}

, soit

{\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)\!=\!\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\!\!\int_{0}^{x}\!\!\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}

.
La dérivée de

{\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}

, notée

{\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)}

est appelée demi-dérivée de

{f}

. On étudie cette demi-dérivée pour certaines classes de fonctions

f

➡️