Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Minimum de (f(x)|x)

(Oral Ccp)
Soit

f

un endomorphisme symétrique de

E

euclidien.
On caractérise les vecteurs

x

unitaires qui minimisent

\bigl(f(x)\mid x\bigr)

.

Carré d’une matrice de rang ≤ 1

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, avec

{\text{rg}(A)\le 1}

.
Montrer que

{A^2=\text{tr}(A)A}

.

Base de formes linéaires

(Oral Ccp)
On pose

{f(x,y,z)=2x-y+z}

,

{g(x,y,z)= y-z}

et

{h(x,y,z)=-x +4y+2z}

. Montrer que

f,g,h

forment une base de

\mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R})

.

Équation différentielle y"+f(x)y = 0

(Oral Tpe& XEns)
On étudie l’équation

{(E): y'' + f(x)y = 0}

, où

{f}

est continue intégrable sur

{\mathbb{R}}

.

Une série de fonctions

(Oral Ccp et Mines-Ponts)
On étudie la série de fonction

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}

.

Suite récurrente, calculs asymptotiques

(Oral Centrale)
Soit

{x_{0}>0}

et :

{\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}

.
On demande un développement asymptotique à deux termes de

{x_n}

en

{+\infty}

.

Encore les quatre spots lumineux

(Oral X-Cachan)
Suite de l’exercice : « quatre spots lumineux »
On étudie la distribution limite d’une chaîne de Markov homogène à quatre états.

Série alternée de fonctions

(Oral Ccp)
Étudier

{S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}

Quatre spots lumineux

(Oral XCachan Psi)
On étudie l’évolution aléatoire d’un tableau de quatre spots lumineux.

Limites d’intégrales généralisées

(Oral Ccp)
Existence de

{J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan(t)}{t^{3/2}+t^{n}}\,\text{d}t}

.
Calcul de

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}J_n}

.

M → AM-MA avec A symétrique réelle

(Oral Tpe)
Soient

{A \in S_{n}(\mathbb{R})}

et

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))}

défini par :

{\varphi(M) = AM -MA}

. Former une base orthonormale de diagonalisation de

{\varphi}

. Que vaut

{\text{rg}(\varphi)}

?

Inégalité entre trace et rang

(Oral Ccem)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

. Montrer que

{\text{tr}(A)^{2}\le \text{rg}(A)\,\text{tr}(A^{2})}

.

Matrices telles que : A A^T A = I_n

(Oral Ensea)
Chercher les matrices

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

telles que

{A\,{A}^{\top}A = I_{n}}

. Et dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

?

Équa. différentielle et série entière

(Oral Ensea)
Solutions développables en série entière de

{(E): 4xy'' - 2y' + 9x^{2}y = 0}

.

Tir au laser sur une bactérie

(Oral Ccem)
Toutes les secondes, on tire au rayon laser sur une bactérie. Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité

{p\in\,]0,1[}

.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par

{r + 1}

tirs de laser, avec

{r\in\mathbb{N}^{*}}

. Soit

{X}

la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis

{\text{E}(X)}

.

Une loi de probabilité

(Oral Tpe)
Étude de la loi de

X

définie par :

{\forall\, k\in\mathbb{N}^{*},\;\mathbb{P}(X = k) =\dfrac{k-1}{2^{k}}}

.

Une série de fonctions

(Oral Ccp)
Définition et continuité de

{x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2}}{\text{e}^{-2nx}+\text{e}^{3nx}}}

.

Un endomorphisme de matrices

(Oral Centrale)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, et

\varphi

défini par :

{\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

,

{\varphi(M)=AM-MB}

.
Montrer que si

{\alpha\in\text{Sp}(A)}

et

{\beta\in\text{Sp}(B)}

, alors

{\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}

.
Si

{\varphi(M)=\lambda M}

, montrer que :

{\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}

.

Une équation matricielle

(Oral Centrale)
Soient

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

et

{E_{A}=\{X\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),AXA=0\}}

.
Déterminer

{\dim (E_{A})}

en fonction du rang de

{A}

.

Un endomorphisme de polynômes

(Oral Centrale)
Étude de l’endomorphisme de

{\mathbb{R}_n[X]}

défini par

{f(P)\!=\!(X\!-\!a)(X\!-\!b)P^{\prime}\!-\!nXP}