Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Urne de plus en plus bicolore

(Oral Centrale Mp)
Évolution de la composition d’une urne bicolore (avec un protocole favorisant l’équilibre des couleurs).

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La suite de Perrin

(Oral Centrale Mp)
La suite de Perrin

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Longueur approchée d’une ellipse

(Oral Centrale)
Approximation de l’intégrale donnant la longueur d’une ellipse.

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Un endomorphisme symétrique de ℝ_n[X]

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Étude d’un endomorphisme symétrique de ℝn[X].

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Une intégrale qui résiste

(Oral Centrale)
Calcul de l’intégrale

{J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}

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Méthode du gradient à pas constant

(Oral Centrale Mp)
Dans

{\mathbb{R}^n}

, résolution de

{Ax=b}

par la méthode du gradient à pas constants.

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Accélération de convergence (Aitken)

(Oral Centrale Mp)
Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)

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Réduction d’une matrice en ᒧ

(Oral Centrale Mp)
Réduction d’une matrice en ᒧ

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Déterminant et polynômes

(Oral Centrale Mp)
Soit

n\in\mathbb{N}

, et

{P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}}

pour

0\le j\le n

.
On étudie la matrice des coefficients

a_{n,i,j}

et on calcule son déterminant.

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Un produit scalaire entre polynômes

(Oral Centrale Mp)
Étude de

{\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}

, où

{c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}

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Matrices de Householder

(Oral Centrale Mp)
Matrices de Householder pour a décomposition QR

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Racines du polynôme dérivé (bis)

(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de

{P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}

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Les racines du polynôme dérivé

(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de

{P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}

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Une série numérique à paramètre

(Oral Centrale)
Étude de

{S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}

, où

{u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}

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Déterminant de la matrice des ppcm(i,j)

(Oral Centrale Mp)
La matrice M des ppcm(i,j). Décomposition puis déterminant de M.

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Déterminant de la matrice des pgcd(i,j)

(Oral Centrale Mp)
La matrice

G_n

des pgcd(i,j). Théorème de Smith. Décomposition de

G_n

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Une condition de nilpotence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

. Alors

{M}

est nilpotente

{\Leftrightarrow\forall k\in\mathbb{N}^*,\;\mathrm{t}\mathrm{r}(M^{k})=0}

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Une base de K_n[X]

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{P\in \mathbb{K}[X]}

, de degré

{n}

, et soient

{a_{0},...,a_{n}}

distincts dans

{\mathbb{K}}

.
Montrer que les polynômes

{P_j(X)=P(X+a_{j})}

forment une base de

{\mathbb{K}_{n}[X]}

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Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Étude de la fonction

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\ln (1+e^{-nx})}

. Équivalent de

f

0

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Une inéquation différentielle

(Oral X-Cachan )
Soit

{f\in C^{1}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})}

telle que

{f(1)=1}

et :

{\forall x\geq 1}

{f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}

.
Montrer que

{f}

a une limite finie

{L}

{+\infty }

et que

{L\leq 1+\dfrac{\pi}{4}}

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