SAS définie positive ?
(Oral Mines-Ponts) Soit {A} dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} et {S} dans {\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}. Montrer : ({SAS} symétrique définie positive) {\Leftrightarrow} ({A} symétrique définie positive, et {S} inversible).
Mp/Pc/Psi
Inverse d’une matrice définie positive
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})}, définie positive.
Montrer que, pour tout {X\in \mathbb{R}^{n}} : {\| X\|^{4}\leq (X^{\top}AX)(X^{\top}A^{-1}X)}
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})}, définie positive.
Montrer que, pour tout {X\in \mathbb{R}^{n}} : {\| X\|^{4}\leq (X^{\top}AX)(X^{\top}A^{-1}X)}
Matrices telles que A^T = A^2
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} telle que {A^{\top}=A^{2}}
Étudier la diagonalisation de {M=A^{\top}A}.
Montrer que {A} est orthogonalement semblable à l’une des cinq matrices indiquées.
Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} telle que {A^{\top}=A^{2}}
Étudier la diagonalisation de {M=A^{\top}A}.
Montrer que {A} est orthogonalement semblable à l’une des cinq matrices indiquées.
Convergence faible
(Oral CCInp)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite {(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}} de vecteurs de {E} converge faiblement vers {x\in E} si : {\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}On suppose que {E} est de dimension finie.
Montrer que {(x_{n})} converge faiblement vers {x} si et seulement si {\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite {(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}} de vecteurs de {E} converge faiblement vers {x\in E} si : {\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}On suppose que {E} est de dimension finie.
Montrer que {(x_{n})} converge faiblement vers {x} si et seulement si {\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.
B polynôme en A ⇒ A polynôme en B ?
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} une matrice diagonalisable.
Soit {B=A^{3}+A+I_{n}}.
Si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, montrer que {A} est un polynôme en {B}.
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{C}}?
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, mais que {A} n’est pas supposée diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}?
Soient {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} une matrice diagonalisable.
Soit {B=A^{3}+A+I_{n}}.
Si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, montrer que {A} est un polynôme en {B}.
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{C}}?
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, mais que {A} n’est pas supposée diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}?
Conditions de diagonalisabilité (ou pas)
(Oral CCInp)
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}, avec {n\ge2}.
On suppose {f^{4}= f^{2}}, et {(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}.
L’endomorphisme {f} est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant {(\star)} par {\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}?
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}, avec {n\ge2}.
On suppose {f^{4}= f^{2}}, et {(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}.
L’endomorphisme {f} est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant {(\star)} par {\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}?
Sur les matrices de rang 1
(Oral CCInp)
Soit {H\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, de rang {1}, de trace {\delta}.
Montrer que {H^{2}=\delta H}. Préciser {\chi_H}.
Si {H+I_{n}} est inversible, calculer {(H+I_{n})^{-1}}.
Soit {H\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, de rang {1}, de trace {\delta}.
Montrer que {H^{2}=\delta H}. Préciser {\chi_H}.
Si {H+I_{n}} est inversible, calculer {(H+I_{n})^{-1}}.
Un exemple de trigonalisation
(Oral Mines-Ponts)
Soit {u\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^3)} tel que {u^2\ne 0} et {u^5=0}.
Montrer qu’il existe une base de {\mathbb{R}^3} dans laquelle la matrice de {u} est : {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.
Soit {u\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^3)} tel que {u^2\ne 0} et {u^5=0}.
Montrer qu’il existe une base de {\mathbb{R}^3} dans laquelle la matrice de {u} est : {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.
Un critère de diagonalisabilité
Oral Centrale
Soient {E} un espace vectoriel de dimension finie et {f} un
endomorphisme de {E}. Montrer que {f} est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace de {E} possède un supplémentaire stable par {f}.
Soient {E} un espace vectoriel de dimension finie et {f} un
endomorphisme de {E}. Montrer que {f} est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace de {E} possède un supplémentaire stable par {f}.
Un critère de non diagonalisabilité
(Oral Mines-Ponts)
Soient {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension finie et {u\in\mathcal{L}(E)}. On montre que {u} est non diagonalisable si et et seulement s’il vérifie la propriété : il existe un plan {P} de {E} stable par {u} et une base de {P} dans laquelle la matrice de l’endomorphisme induit par {u} s’écrit {\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}}.
Soient {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension finie et {u\in\mathcal{L}(E)}. On montre que {u} est non diagonalisable si et et seulement s’il vérifie la propriété : il existe un plan {P} de {E} stable par {u} et une base de {P} dans laquelle la matrice de l’endomorphisme induit par {u} s’écrit {\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}}.
Racine n-ième d’une rotation
(Oral Mines-Ponts)
Sent {M\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\;n\in \mathbb{N}} avec {M^{n}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}}.
Soit {\theta_{k}=\frac{(2k+1)\pi}{2n}} et {R_{k}=\begin{pmatrix}\cos\theta_{k} & -\sin\theta_{k} \\\sin\theta _{k} & \cos\theta _{k}\end{pmatrix}}.
Montrer : {\exists\,Q\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}),\exists\,k\in \mathbb{N},\;Q^{-1}MQ=R_{k}}.
Sent {M\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\;n\in \mathbb{N}} avec {M^{n}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}}.
Soit {\theta_{k}=\frac{(2k+1)\pi}{2n}} et {R_{k}=\begin{pmatrix}\cos\theta_{k} & -\sin\theta_{k} \\\sin\theta _{k} & \cos\theta _{k}\end{pmatrix}}.
Montrer : {\exists\,Q\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}),\exists\,k\in \mathbb{N},\;Q^{-1}MQ=R_{k}}.
Racines carrées matricielles
(Oral Mines-Ponts)
Pour {A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}, on note :{E_A=\{B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;B^{2}=A\}}Trouver les {A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})} telles que {E_A} soit fini non vide.
Que dire alors de {\text{Card}(E_A)} ?
Pour {A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}, on note :{E_A=\{B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;B^{2}=A\}}Trouver les {A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})} telles que {E_A} soit fini non vide.
Que dire alors de {\text{Card}(E_A)} ?
Réduction d’un endomorphisme intégral
(Oral Ensam)
Pour tout {P\in \mathbb{R}_{n}[X]}, on définit : {U(P)(x)=e^{x}\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\!\!e^{-t}P(t)\,\text{d}t}Montrer que {U} est un endomorphisme de {\mathbb{R}_{n}[X]}.
Est-il diagonalisable? Préciser son inverse.
Pour tout {P\in \mathbb{R}_{n}[X]}, on définit : {U(P)(x)=e^{x}\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\!\!e^{-t}P(t)\,\text{d}t}Montrer que {U} est un endomorphisme de {\mathbb{R}_{n}[X]}.
Est-il diagonalisable? Préciser son inverse.
Diagonalisabilité et déterminant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension {n}.
Soit {\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})} une base de {E}.
Soit {u=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}e_i} et {f\in\mathcal{L}(E)} défini par :{\forall\,i\in\{1,\ldots,n\},\;f(e_{i}) = e_{i} + u}Trouver les éléments propres de {f}.
{f} est-il diagonalisable ? Quel est son déterminant ?
Soit {E} un espace vectoriel de dimension {n}.
Soit {\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})} une base de {E}.
Soit {u=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}e_i} et {f\in\mathcal{L}(E)} défini par :{\forall\,i\in\{1,\ldots,n\},\;f(e_{i}) = e_{i} + u}Trouver les éléments propres de {f}.
{f} est-il diagonalisable ? Quel est son déterminant ?
Égalité matricielle AB-BA=B
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {AB-BA=B\ (\star)}
Calculer {\mathrm{tr}(B)}. Montrer que {B} n’est pas inversible.
Montrer : {\forall\,k\in \mathbb{N},\;AB^{k}-B^{k}A=kB^{k}}.
En déduire que {B} est nilpotente (plusieurs méthodes)
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {AB-BA=B\ (\star)}
Calculer {\mathrm{tr}(B)}. Montrer que {B} n’est pas inversible.
Montrer : {\forall\,k\in \mathbb{N},\;AB^{k}-B^{k}A=kB^{k}}.
En déduire que {B} est nilpotente (plusieurs méthodes)
Endomorphisme de suites
(Oral CCinp)
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{C}^{\mathbb{N}})} définie par {f(u)=v} où {\begin{cases}v_{0}=u_{0}\\\forall\,n\in\mathbb{N},\,v_{n+1}=\dfrac{u_{n}+u_{n+1}}2\end{cases}}Donner les éléments propres de {f}.
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{C}^{\mathbb{N}})} définie par {f(u)=v} où {\begin{cases}v_{0}=u_{0}\\\forall\,n\in\mathbb{N},\,v_{n+1}=\dfrac{u_{n}+u_{n+1}}2\end{cases}}Donner les éléments propres de {f}.
Une forme linéaire sur Rn[X]
(Oral Centrale)
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}
Indépendance d’une famille de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(f_{1},\ldots,f_{n})} une famille de fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}. Montrer qu’elle est libre si et seulement s’il existe {n} réels {x_{1},\ldots,x_{n}} tels que la matrice des {f_{i}(x_{j})} soit inversible dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.
Soit {(f_{1},\ldots,f_{n})} une famille de fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}. Montrer qu’elle est libre si et seulement s’il existe {n} réels {x_{1},\ldots,x_{n}} tels que la matrice des {f_{i}(x_{j})} soit inversible dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.
Réciproque de P ↦ P-P’
(Oral Mines-Ponts)
Soit {B\in \mathbb{R}[X]}.
Montrer : {\exists!\;A\in\mathbb{R}[X],A-A^{\prime}=B}.
Montrer que si {B\ge0} sur {\mathbb{R}}, alors {A} aussi.
Soit {B\in \mathbb{R}[X]}.
Montrer : {\exists!\;A\in\mathbb{R}[X],A-A^{\prime}=B}.
Montrer que si {B\ge0} sur {\mathbb{R}}, alors {A} aussi.
Endomorphisme vérifiant u^3=u
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie.
Soit {u\in{\mathcal L}(E)} tel que {u^{3}=u}.
Montrer que {u^{2}} est un projecteur.
Que dire si {\text{tr}(u)=\text{rg}(u)}?
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie.
Soit {u\in{\mathcal L}(E)} tel que {u^{3}=u}.
Montrer que {u^{2}} est un projecteur.
Que dire si {\text{tr}(u)=\text{rg}(u)}?