Concours Mines-Ponts
Condition de diagonalisabilité
(Oral Mines-Ponts)
Soit {M\in{\mathcal M}_p(\mathbb{C})} telle que : {\forall n\in[[1,k\!+\!1]]}, {M^n=\lambda_1^n A_1+\cdots +\lambda_k^n A_k.}
Montrer que la matrice {M} est diagonalisable.
Soit {M\in{\mathcal M}_p(\mathbb{C})} telle que : {\forall n\in[[1,k\!+\!1]]}, {M^n=\lambda_1^n A_1+\cdots +\lambda_k^n A_k.}
Montrer que la matrice {M} est diagonalisable.
Convergence d’une série numérique
(Oral Mines-Ponts)
Condition sur {P\in\mathbb{R}[X]} pour que {\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)} converge.
Condition sur {P\in\mathbb{R}[X]} pour que {\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)} converge.
Diagonalisation d’une matrice 4×4
(Oral Mines-Ponts)
Diagonaliser {\begin{pmatrix}a^2&ab&ab&b^2\\ ab&a^2&b^2&ab\\ab&b^2&a^2&ab\\b^2&ab& ab&a^2\end{pmatrix}}, où (a,b)\in\mathbb{C}^2.
Diagonaliser {\begin{pmatrix}a^2&ab&ab&b^2\\ ab&a^2&b^2&ab\\ab&b^2&a^2&ab\\b^2&ab& ab&a^2\end{pmatrix}}, où (a,b)\in\mathbb{C}^2.
Diagonalisabilité et blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}. Condition pour que {B=\begin{pmatrix}A&0\\A&A \end{pmatrix}} soit diagonalisable.
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}. Condition pour que {B=\begin{pmatrix}A&0\\A&A \end{pmatrix}} soit diagonalisable.
Somme d’une série numérique alternée
(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^{n}}{3n+1}}
Convergence et somme de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^{n}}{3n+1}}
Spectre d’un opérateur shift
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} l’ensemble des {f\in{\mathcal C}^{+\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})} ayant une limite finie en {+\infty}.
Soit {T\colon E \rightarrow E}, défini par : {T(f)(x)=f(x+1)}.
Déterminer les valeurs propres de {T}
Soit {E} l’ensemble des {f\in{\mathcal C}^{+\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})} ayant une limite finie en {+\infty}.
Soit {T\colon E \rightarrow E}, défini par : {T(f)(x)=f(x+1)}.
Déterminer les valeurs propres de {T}
Étude de séries entières
(Oral Mines-Ponts)
Soit {s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}, sachant que {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|u_{k}|} converge.
Étudier {U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}} et {S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}.
Soit {s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}, sachant que {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|u_{k}|} converge.
Étudier {U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}} et {S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}.
Série définie par une intégrale
(Oral Mines-Ponts)
Étudier la série de terme général {u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-x^{n}}\,\text{d}x}.
Étudier la série de terme général {u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-x^{n}}\,\text{d}x}.
Équa. diff. linéaire d’ordre 2
(Oral Mines-Ponts)
Résoudre, sur {]-1,1[}, l’équation différentielle : {4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}
Résoudre, sur {]-1,1[}, l’équation différentielle : {4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}
Un arc paramétré
Déplacements aléatoires sur un carré
(Oral Mines-Ponts)
On considère les déplacements aléatoires d’un point entre les sommets d’un carré ABCD, et on se donne les probabilités de transition d’un sommet à un autre. On demande la probabilité limite d’être en tel en tel sommet à la date n quand n\to+\infty.
On considère les déplacements aléatoires d’un point entre les sommets d’un carré ABCD, et on se donne les probabilités de transition d’un sommet à un autre. On demande la probabilité limite d’être en tel en tel sommet à la date n quand n\to+\infty.
Répartition de a*n boules dans n urnes
(Oral Mines-Ponts)
On répartit au hasard {an} boules dans {n} urnes. Soit {S_{n}} la proportion d’urnes vides après la répartition. Déterminer {\text{E}(S_n),\text{V}(S_{n})} et leur limite quand {n\to+\infty}
On répartit au hasard {an} boules dans {n} urnes. Soit {S_{n}} la proportion d’urnes vides après la répartition. Déterminer {\text{E}(S_n),\text{V}(S_{n})} et leur limite quand {n\to+\infty}
Probabilités et urne bicolore
(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient {2a} boules blanches et {a} boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit {X} le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de X et {E(X)} (deux méthodes)
Une urne contient {2a} boules blanches et {a} boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit {X} le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de X et {E(X)} (deux méthodes)
Probabilité de tirages monotones
(Oral Mines-Ponts)
On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.
On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.
Inégalité et espérance mathématique
(Oral Mines-Ponts)
Soit {a\in[0, 1]} et {X} une v.a.r positive ayant une espérance.
Montrer que {(1-a)\text{E}(X) \le \text{E}\bigl(X\,\mathbf{1}_{X\ge a E(X)}\bigr)}.
Soit {a\in[0, 1]} et {X} une v.a.r positive ayant une espérance.
Montrer que {(1-a)\text{E}(X) \le \text{E}\bigl(X\,\mathbf{1}_{X\ge a E(X)}\bigr)}.
Un opérateur « valeur moyenne »
(Oral X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale)
Soit {E} l’ensemble des fonctions continues de {\mathbb{R}^{+*}} dans {\mathbb{R}}.
Soit {T\colon E\rightarrow E}, défini par {T(f)(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}.
On étudie les éléments propres de {T}.
Soit {E} l’ensemble des fonctions continues de {\mathbb{R}^{+*}} dans {\mathbb{R}}.
Soit {T\colon E\rightarrow E}, défini par {T(f)(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}.
On étudie les éléments propres de {T}.
Calcul de sommes binomiales
(Oral Mines-Ponts)
Calculer les sommes {\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor}\dbinom{n}{3k}} et {\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/4\rfloor}\dbinom{n}{4k}}.
Calculer les sommes {\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor}\dbinom{n}{3k}} et {\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/4\rfloor}\dbinom{n}{4k}}.
Un déterminant et un polynôme
(Oral Mines-Ponts)
Soient {a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}} distincts.
Calculer : {P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}
Soient {a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}} distincts.
Calculer : {P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}
Inversion d’une matrice
(Oral Mines-Ponts)
Soit {M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}} où {m_{i,j}=0} si {j>i} et {m_{i,j}=\dbinom{i-1}{j-1}} si {j\leq i}.
Calculer l’inverse {M^{-1}} de la matrice M.
Soit {M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}} où {m_{i,j}=0} si {j>i} et {m_{i,j}=\dbinom{i-1}{j-1}} si {j\leq i}.
Calculer l’inverse {M^{-1}} de la matrice M.