Concours Centrale

Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral du concours de l’École Centrale (classes de Spé Mp, Pc, Psi)

Fonction Ck à dérivées nulles en 0

(Oral Centrale)
Soit {f\in\mathcal{C}^3(\mathbb{R})} avec {f(0)=f^{\prime }(0)=0}.
Montrer : {\forall\,x\ne0,\;f(x)=x\displaystyle\int_{0}^{1}f^{\prime }(ux)du.}
Montrer : {\exists\,g\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}.
Montrer : {\exists\,h\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}.

Encore une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^x \ln(t)}{t-1}\,\text{d}t}.

  1. Déterminer le dommaine {D} de la fonction {I}.
  2. Montrer que {I} est {\mathcal C^1} sur {D}.
  3. Calculer pour {I(x+1)-I(x)} pour {x\in D}.
  4. Déterminer la limite de {I} en {+\infty}.
  5. Donner un équivalent de {I} en {-1} et en {+\infty}

Une suite/série implicite

(Oral Centrale)
Montrer que : {\forall\,n\in \mathbb{N},\;\exists!\,a_{n}\in\mathbb{R},\;e^{a_{n}}+na_{n}=2}
Déterminer la nature des séries {\displaystyle\sum a_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}.
Déterminer la limite de {n(1-na_{n})} en {+\infty}.
Développer {a_n} à la précision {o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}.

Une forme linéaire sur Rn[X]

(Oral Centrale)
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}

Fonctions additives bornées à l’origine

(Oral Centrale)
Soit {f\colon\mathbb{R}\in\mathbb{R}} telle que : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;f(x+y)=f(x)+f(y)}Déterminer {f(0)}. Pour {x\in\mathbb{R}} et {\lambda\in\mathbb{Q}}, exprimer {f(\lambda x)} en fonction de {f(x)}.
On suppose {f} continue en {0}. Montrer que {f} est continue sur {\mathbb{R}}. Dans ce cas, déterminer {f}.
Idem avec {f} bornée au voisinage de {0}.

Limite de fonctions inverses

(Oral Centrale 2018)
On pose : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;A_{n}:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}}.
Montrer que : {\forall\,y\in\mathbb{R}^{+},\;\exists\,!\,x\in\mathbb{R}^{+},\;A_{n}(x)=y}.
On note {x=f_{n}(y)}. Tracer des fonctions {f_n}.
Montrer que la suite {(f_n)_{n\ge1}} converge simplement sur {\mathbb{R}^+} vers {f\colon x\mapsto1-\text{e}^{-x}}.

Nombres de Bell

(Oral Centrale 2018)
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.
Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Conjecturer la valeur de {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}.
Prouver cette conjecture. Calculer {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}.