Séries positives

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr, pour le chapitre « Séries numériques », dans la catégorie « Séries positives ».

Sommes harmoniques et nombre d’Apery

(Oral Centrale) On définit un certain nombre de séries numériques dans lesquelles apparaissent les sommes harmoniques

{H_n}

. Par des manipulations algébriques, on exprime

{\zeta(3)}

(la constante d’Apery) comme la somme d’une telle série.

Série des inverses des nombres de Catalan

(Oral Centrale) On définit la suite des nombres de Catalan

{c_n}

. Par des méthodes de séries entières, on calcule la somme de la série des

{1/c_n}

et des

{n/c_n}

.

Une récurrence très sensible

(Oral Centrale) On étudie (avec Python, puis théoriquement) le comportement d’une suite récurrente, en fonction de la valeur de son terme initial.

La règle de Raabe-Duhamel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\alpha \in\mathbb{R}}

et

{\left(u_{n}\right)_{n\ge0}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

.
On suppose que

{\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=1-\dfrac{\alpha}{n}+\text{O}\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right)}

.
Déterminer la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}

.

Suite implicite et série

(Oral Inp)
Pour

{n\ge2}

, on pose

{f_{n}(x)=\text{e}^{x}+x-n}

.
Montrer que :

{\exists!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;f_{n}(u_{n})=0}

.
Déterminer un équivalent de

{u_{n}}

.
on pose

{v_{n}=u_{n}-a\ln(n)-\dfrac{b}{n}\ln(n)}

.
Trouver

{a,b}

tels que

{\displaystyle\sum v_{n}}

converge.

Une série de produits

(Oral Ccp)
Soit

{(a_{n})_{n\geq 1}}

une suite de

{\mathbb{R}^+}

.
On pose :

{u_{n}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right) \ldots \left(1+a_{n}\right)}}

Calculer

{u_{1}+u_{2}}

, et généraliser.
Montrer que la série

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}}

converge.
Calculer

{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}}

quand

{a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}}

.

Suites récurrentes et séries

Cinq exercices sur le thème « suites récurrentes et séries ». On étudie des séries numériques liées à une suite définie par une récurrence

{u_{n+1}=f(u_n)}

Des séries à somme entière

(Oral Ccp)
Pour

{p\in\mathbb{N}}

, justifier l’existence de

{S_{p}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^{p}}{2^{n}}}

.
Exprimer

{S_{p}}

en fonction de

{S_{0},\ldots,S_{p-1}}

.
Montrer que :

{\forall\,p\in\mathbb{N},\;S_{p}\in\mathbb{N}}

.

Sommes partielles et équivalents

(Oral XEns)
On suppose

{S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}\sim\dfrac{1}{a_{n}}}

(avec les

{a_n\gt 0}

)
Montrer que

{\displaystyle\sum a_n}

diverge et

{\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}

.
Montrer

{\begin{cases}S_{n+1}\sim S_{n}\\\displaystyle\lim_{+\infty}(S_{n+1}^{2}-S_{n}^{2})=2\end{cases}}

puis

{a_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}

.
Réciproque : montrer que

{b_n\sim\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\Rightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_{k}\sim\dfrac{1}{b_{n}}}

.

Encadrement de la somme d’une série

(Oral Ensam)
Soit, pour

{n\in\mathbb{N}^*}

:

{u_n=\Bigl(\dfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n^2}}

.
Montrer que la série

{S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}

converge.
Majorer son reste d’indice

{n}

en fonction de

{u_{n+1}}

.
Encadrer

{S}

au moyen de deux sommes partielles consécutives.

Série et sommes partielles

(Oral Centrale)
Soit

{(u_n)_{n\geq 1}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

.
Soit

{v_n=\dfrac{u_n}{S_{n}}}

où

{S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_k}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}

et

{\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n}

ont même nature.

Série et transformation d’Abel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(u_n)_{n\geq 1}}

une suite positive décroissante.
On suppose que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}

converge.
On pose

{v_n= n(u_{n}-u_{n+1})}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n}

converge.
Exprimer sa somme en fonction de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}

.

Série des inverses des entiers premiers

(Oral X-Ens)
Dans cet exercice, on écrit la fonction Zeta de Riemann comme un produit infini; on en déduit que la série des inverses des entiers premiers diverge.

Série et sommes partielles

(Oral Centrale)
Soit

{\left(u_{n}\right)_{n\ge0}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

, et

{\alpha\gt0}

.
On suppose que

{n\mapsto S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}

diverge.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge}\dfrac{u_{n}}{S_{n}^{\alpha}}}

converge

{\Leftrightarrow\alpha >1}

.

On suppose ${\displaystyle\lim_{\infty}S_{n}=S\gt0}$ . Soit ${R_{n}=S-S_{n}}$ .
Montrer que ${\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{u_{n}}{R_{n}^{\alpha-1}}}$ converge ${\Leftrightarrow \alpha \lt 1}$ .

Série des f(n) avec hypothèse sur f’/f

(Oral Centrale)
Soit

{f\in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\;\mathbb{R}_{+}^{\ast})}

, avec

{\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\ell}

.
On demande d’étudier la série

{\displaystyle\sum f(n)}

.

La série des sin(2π e n!)

(Oral Mines-Ponts)
Donner un équivalent de

{u_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}}

.
En déduire que la série

{\displaystyle\sum\sin (2\pi\,\text{e}\, n!)}

diverge.

Quatre épisodes pour une mini-série

Nature et somme de

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}}

où

{u_{n}=\dfrac{n}{2^{n}}}

.
Pour la somme, on demande plusieurs méthodes.

Une suite/série implicite

(Oral Centrale)
Montrer que :

{\forall\,n\in \mathbb{N},\;\exists!\,a_{n}\in\mathbb{R},\;e^{a_{n}}+na_{n}=2}

Déterminer la nature des séries

{\displaystyle\sum a_{n}}

et

{\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}

.
Déterminer la limite de

{n(1-na_{n})}

en

{+\infty}

.
Développer

{a_n}

à la précision

{o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}

.

Équivalents et séries de Riemann

On se donne

{\alpha\in]0,1[}

et

{\beta>1}

.
On pose

{S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{k^\alpha}}

et

{R_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac1{k^\alpha}}

.
Donner un équivalent de

{R_n}

et de

{S_n}

.

Séries à termes positifs (2)

Huit exercices sur le thème « séries à termes positifs » (2/2)