Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Conditions pour une isométrie

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, avec

{E}

euclidien.
Montrer que deux propriétés entraînent la troisième :

{(i)}

{u}

est une isométrie

{(ii)}

{u^{2}=-\text{Id}}

{(iii)}

{\forall\,x\in E,\;(u(x)\mid x) =0}

➡️

Conservation des distances et linéarité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
Soit

{f\colon E\to E}

vérifiant

{f(0)=0}

et :

{\forall\,(x,y)\in E^{2},\;\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|}

Montrer que

{(f(x)\mid f(y))=( x\mid y)}

Montrer que

{f}

est linéaire.

➡️

Nilpotent plus diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie.
Soit

{n}

un endomorphisme nilpotent de

{E}

.
Soit

{v\in\text{GL}(E)}

tel que

{vn=nv}

.
Montrer que

{\det(v+n)=\det(v)}

.
Soit

{d}

diagonalisable tel que

{dn=nd}

.
Montrer que

{\det(d+n)=\det(d)}

➡️

Polynôme annulateur et trace

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que :

{A^{4}+A^{3}+A^{2}+A+I_{n}=0}

On suppose

{\text{tr}(A)\in\mathbb{Q}}

. Montrer que

{4\mid n}

➡️

Sous-espaces stables, commutant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\begin{pmatrix}{1} & {j} & {j^{2}} \\ {j} & {j^{2}} & {1} \\ {j^{2}} & {1} & {j}\end{pmatrix}}

, où

{j=\text{e}^{2i\pi/3}}

.
La matrice

{A}

est-il diagonalisable ?
Déterminer les sous-espaces stables par

{A}

.
Déterminer la dimension de :

{\mathcal{C}_A=\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}

➡️

Ordre d’une matrice entière de taille 2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}

, d’ordre fini

{k\ge1}

{A^{k}=I_n\;\text{et}\;\forall\,j\in[1,k[,\;A^{j}\neq I_n}

Que dire de

{A}

, en termes de réduction ?
Préciser les ordres possibles de

{A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})}

➡️

Somme de lois de Rademacher

(Mines-Ponts)
Soient

{X_{1},\ldots,X_{n}}

des v.a.r indépendantes de loi :

{P(X_{k}=1)=P(X_{k}=-1)=1/2}

Soit

{S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}

.
Montrer que

{P\Big(\dfrac{S_{n}}{n}\geq \varepsilon\Big)\leq \exp\Big(-\dfrac{n\varepsilon ^{2}}{2}\Big).}

➡️

Un nombre géométrique de lancers

(Oral Mines-Ponts)
On lance

{N}

fois une pièce, où

{N\leadsto\mathcal{G}(p)}

.
Soit

{X}

le nombre de faces obtenu.
Déterminer la loi de

{X}

➡️

Probabilités et équation différentielle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B}

deux v.a.r. suivant la loi

{\mathcal{G}(p)}

.
Déterminer la probabilité que les solutions de :

{(E_{\omega }): y''+(A-1)y^{\prime }+By=0}

tendent vers

{0}

{+\infty}

➡️

Espérance d’un déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}

, où les

{a_{i,j}}

sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer :

{E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}

.
On suppose que les

{a_{i,j}}

suivent toutes la même loi. Soit

{x\in \mathbb{R}}

. Calculer

{E(\chi_{A}(x))}

➡️

Pics dans des tirages sans remise

(Oral Mines-Ponts)
Dans une urne,

{n}

boules numérotées de 1 à

{n}

.
On effectue

{n}

tirages successifs sans remise.
Soit

{X_{k}}

le numéro de la boule tirée à l’étape

{k}

.
On dit qu’il y a un pic si

{X_{k}>\max(X_{1},...,X_{k-1})}

.
Donner l’espérance du nombre de pics.

➡️

Stabilité de la loi binomiale

(Oral Centrale)
Soient

{Y,Z}

indépendantes à valeurs dans

{\mathbb{N}}

, et non constantes.
On suppose

{U=Y+Z\leadsto\mathcal{B}(n,p)}

.
Montrer que

{Y,Z}

suivent des lois binomiales.

➡️

Racine de l’unité aléatoire

(Oral X-Ens)
On choisit au hasard une racine

{n}

-ème de l’unité

{Z}

.
Soient

{X=\text{Re}(Z)}

{Y=\text{Im}(Z)}

.
Calculer

{\mathrm{Cov}(X,Y)}

{X}

{Y}

sont elles indépendantes ?

➡️

Une équation aux dérivées partielles

(Oral Mines-Ponts)
Déterminer les

{f\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{2},\ \mathbb{R})}

telles que

{\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}-4\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}+3\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=0}

➡️

Exponentielle d’une matrice

Montrer que pour toute matrice A de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

, il existe un polynôme

{P}

tel que

{\exp(A)=P(A)}

.
Existe-t-il un polynôme

{P\in \mathbb{C}[X]}

tel que

{\forall\, A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;\exp (A)=P(A)}

➡️

Encore un système différentiel

(Oral CCInp)
Résoudre le système :

{(S)\ \begin{cases}x'=3x+y\\y'=2x-y\\z'=-4x-8y+2z\end{cases}}

➡️

Série alternée d’intégrales

(Oral CCInp)
On note la fonction

{\Gamma :x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t}

.
On pose

{u_{n}=\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!\ln\Gamma(x)\,\text{d}x}

.
Préciser la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}}

➡️

Une relation série-intégrale

(Oral Mines-Ponts)
On admet :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}}

. Montrer que :

{I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!\dfrac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}\text{d}x=\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt\pi}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}

➡️

Fonction Ck à dérivées nulles en 0

(Oral Centrale)
Soit

{f\in\mathcal{C}^3(\mathbb{R})}

avec

{f(0)=f^{\prime }(0)=0}

.
Montrer :

{\forall\,x\ne0,\;f(x)=x\displaystyle\int_{0}^{1}f^{\prime }(ux)du.}

Montrer :

{\exists\,g\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}

.
Montrer :

{\exists\,h\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}

➡️

Intégrale de exp(i x^2) de 0 à +∞

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-x^{2}(t^{2}-i)}}{t^{2}-i}dt}

.
On rappelle que :

{\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!e^{-t^2}\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}}

Trouver le domaine de définition de

{f}

.
Montrer que la restriction de

{f}

{\mathbb{R}^+}

est

{\mathcal{C}^{1}}

.
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!e^{ix^{2}}dx}

existe et la calculer.

➡️