Intégration sur un intervalle quelconque Exercices corrigés

Intégration sur un intervalle quelconque

Exercices du chapitre « Intégration sur un intervalle quelconque ».

Équivalent d’une suite d’intégrales

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin (nt)}{1+n^{5}t^{3}}\,\text{d}t}

.
Donner

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_{n}}

et un équivalent simple de

{I_{n}}

➡️

Série entière et intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}}

existe si

{x\lt1}

.
Développer

{f}

en série entière en

{0}

➡️

Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)
On montre que

{I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma}

(constante d’Euler)

➡️

Existence d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de

{J_{\alpha}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\exp \left(\dfrac{\sin ^{2}t}{t^{\alpha}}\right)-1\right) \,\text{d}t}

➡️

Intégrale et série numérique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln (1-t^{2})\ln (t)}{t^{2}}\,\text{d}t=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)^{2}}}

➡️

L’intégrale de Dirichlet

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on calcule

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}

➡️

Intégrale généralisée en deux temps

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine et continuité de

{f(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\text{d}t}

.
Convergence et calcul de

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x)\text{d}x}

➡️

Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\left(1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\ln(x)\,\text{d}x}

tend vers

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\ln (x)\,\text{d}x=-\gamma}

➡️

Polynômes orthogonaux

(Oral Centrale)
On étudie une famille de polynômes orthogonaux pour

{(f\mid g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\varphi(t)\,\text{d}t}

On montre qu’ils sont scindés simples sur

{\mathbb{R}}

➡️

Calcul d’une intégrale généralisée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence et calcul de

{I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}x}{\,\text{sh} (\sqrt{x})}}

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Calculer

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-t}{\ln (t)}t^{x}\,\text{d}t}

➡️

DSE d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le domaine de

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}

.
Montrer que

{f}

est développable en série entière

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine, continuité, dérivabilité de

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}

.
Donner un équivalent de

{f}

{0}

➡️

Étude de int(arctan(x tan(t)), t=0..π/2)

(Oral Centrale Mp)
Étude de l’intégrale à paramètre

{f(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan (t))\,\text{d}t}}

➡️

Intégrabilité de 1/(1+e^t |sin t|) sur ℝ⁺

(Oral Centrale Mp)
Intégrabilité de

{\dfrac{1}{1+\text{e}^t|\sin t|}}

sur

{\mathbb{R}^+}

➡️

J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (3/3)

(Oral Centrale Mp)
Étude de

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(3/3)

➡️

J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (2/3)

(Oral Centrale Mp)

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(2/3)

➡️

J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (1/3)

(Oral Centrale Mp)
Étude de

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(1/3)

➡️

Une intégrale qui résiste

(Oral Centrale)
Calcul de l’intégrale

{J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}

➡️

Une série numérique à paramètre

(Oral Centrale)
Étude de

{S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}

, où

{u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}

➡️

Équivalents d’intégrales

Équivalents en

{+\infty}

{J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\cos(t)}{1+n^{2}t^{2}}\text{d}t}

{K_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{e}^{-nt}}{1+t^{2}}\text{d}t}

➡️

Théorème de convergence dominée

Six exercices d’application du théorème de convergence dominée.

➡️

La fonction Gamma d’Euler

On introduit la fonction

{\Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}

.
On étudie ses propriétés (relation fonctionnelle, caractère

\mathcal{C}^{\infty}).

➡️

Petites intégrales généralisées (2/2)

Cinq calculs d’intégrales généralisées (2/2).

➡️

Petites intégrales généralisées (1/2)

Cinq calculs d’intégrales généralisées (1/2).

➡️

Intégrales de Wallis et Futuna

On étudie les intégrales

{F_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{d}t}{\,\text{ch}^{n}(t)}}

➡️

Intégrales généralisées

Prouver l’égalité

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(t)}{1-t^{2}}\,\text{d}t=-\dfrac{\pi^{2}}{8}}

Prouver l’égalité ${\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{t\,\text{d}t}{\text{e}^{t}-1}=\dfrac{\pi^{2}}{6}}$ .

➡️

Une jolie égalité intégrale/série

Prouver l’égalité

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\,\text{d}x}{\,x^{x}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{n^{n}}}

➡️

Encore une intégrale à paramètre

Pour tout réel

{x}

, montrer que :

{\forall\,x\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(xt)}{t}\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\arctan(x)}

➡️

Calcul d’une intégrale à paramètre

Montrer :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-t^{2}}\cos(xt)\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\text{e}^{-x^{2}/4}}

➡️

Une intégrale généralisée (2/2)

Existence et calcul de

{g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t}-\text{e}^{-xt}}{t}\text{d}t}

➡️

Une intégrale généralisée (1/2)

Existence et calcul de

{I=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}}{x}\,\text{d}x}

➡️

Une intégrale « nulle »

Existence puis calcul de

{\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\,\text{d}x}

➡️

Fonctions de carré intégrable

Soit

{f}

dans

{\mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}

. On suppose que

{f}

{f''}

sont de carré intégrable sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer que

{f'}

est de carré intégrable sur

{\mathbb{R}^{+}}

➡️

Intégrale de Lejeune-Dirichlet

Étudier la fonction

{g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-xt}\dfrac{1-\cos(t)}{t^{2}}\,\text{d}t}

.
En déduire

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}

➡️

Intégrale de Gauss

Dérivabilité de

{g(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{e}^{-(1+t^{2})x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t}

.
En déduire

{\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\text{e}^{-u^{2}}\,\text{d}u=\sqrt{\pi}}

➡️

Intégrale généralisée « complexe »

Existence et calcul de l’intégrale

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{\text{e}^{t}-i}}

➡️

Intégrale d’intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Existence et calcul de

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}\text{d}t\biggr)\text{d}x}

➡️

Limite d’une intégrale à paramètre

(Ooral Mines-Ponts)
Pour

{x>0}

, on pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln (t)\ln (1-t^{x})\,\text{d}t}

.
Montrer que

{f}

est bien définie et l’écrire comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de

{f}

{0}

➡️

Limites d’intégrales généralisées

(Oral Ccp)
Existence de

{J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan(t)}{t^{3/2}+t^{n}}\,\text{d}t}

.
Calcul de

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}J_n}

➡️

Équivalents et intégrales

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\delta\in\,]\,0,1[}

. Donner un équivalent de

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t}

{+\infty}

➡️

Intégrale et séries numériques

(Oral Ccp)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}

➡️

Intégrale généralisée et série

(Oral Mines)
Montrer que

{I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}}

➡️

Interversion série-intégrale

(Oral Ccp et Centrale)
On suppose

{\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}

. Soit

{f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}

.
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}

➡️

Minimum d’une intégrale à paramètre

(Oral X-Cachan Psi)
On pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{x}(1+t)}}

.
Étudier

{f}

sur son domaine, et trouver son minimum.

➡️

Demi-dérivée d’une fonction continue

(Oral X-Cachan)
Si

{f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+}}

, soit

{\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)\!=\!\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\!\!\int_{0}^{x}\!\!\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}

.
La dérivée de

{\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}

, notée

{\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)}

est appelée demi-dérivée de

{f}

. On étudie cette demi-dérivée pour certaines classes de fonctions

f

➡️

Suite d’intégrales à paramètre

(Oral X-Cachan)
Soit

{\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}

, continue et bornée. On pose :

{\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}

.
On montre que les

{\varphi_{n}}

sont

{{\mathcal C}^{1}}

et CVS vers

{\varphi}

➡️

Itérés d’un opérateur à noyau

(Oral X-Cachan)
Soit

{K\in {\mathcal C}^{0}([a,b]^{2},\mathbb{C})}

avec

{K(x,y) = 0}

{x\le y}

.
À

{u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}

, on associe

{v=T_{K}(u)}

définie par :

{\forall\, x\in[a,b],\;v(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,y)\,u(y)\text{d}y}

.
On étudie les itérés de

T_K

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
Soit

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t^{2}x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t\;}

.
On étudie son domaine

\mathcal{D}

, sa dérivabilité, et le comportement aux bornes.

➡️

Interversion série-intégrale

(Oral Centrale)
Soit

{(u_n)}

une suite croissante de

{\mathbb{R}^{+*}}

, divergente.
Montrer que :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}.\quad}

➡️