Intégration sur un intervalle quelconque

Exercices du chapitre « Intégration sur un intervalle quelconque ».

Intégrale à paramètre et série

(Oral Mines-Ponts)
Soit {f(x,t)=\dfrac{\sin (x t)}{\text{e}^{t}-1}} et {I(x)\!\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t}
Montrer que {I} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {I(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{k^{2}+x^{2}}}.
En déduire {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}I(x)}.

Intégrale de t^(t^x)

(Oral Mines-Ponts)
Soit {f_x(t)=t^{t^x}=\text{e}^{t^x\ln t}} et {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f_x(t) \,\text{d}t} .
Montrer que {F} est croissante et continue sur {\mathbb{R}},
Écrire {F(x)} comme somme de série si {x>0}.
Étudier la limite de {F} en {+\infty}.

Intégrabilité d’une intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Soit {a>1}. On pose {F(x)=\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \!\!\!\dfrac{\text{d}t}{\left(x^{2}+t^{2}\right)^{a}}}.
Montrer que {F} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer qu’elle vérifie une équation différentielle.
Montrer que {F} est intégrable sur {\mathbb{R}}.

Calcul d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
On pose {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\! \dfrac{\text{d}t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{x}\right)}}.
Montrer que {F} est définie sur {\mathbb{R}^{+}}.
Calculer {F(0)} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)}.
Calculer {F(x)} pour tout {x\gt0}.

Une intégrale d’intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Soit {F : x \rightarrow \displaystyle\int_{x}^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {F} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+^{*}}}.
Monrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!F(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin u}{u}\mathrm{d}u}

Intégrales et séries

(Oral Ensam)
On pose {a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}
Montrer que {(a_{n})} est définie, et déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent de {a_{n}}.
Calculer {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.

Fonction Ck à dérivées nulles en 0

(Oral Centrale)
Soit {f\in\mathcal{C}^3(\mathbb{R})} avec {f(0)=f^{\prime }(0)=0}.
Montrer : {\forall\,x\ne0,\;f(x)=x\displaystyle\int_{0}^{1}f^{\prime }(ux)du.}
Montrer : {\exists\,g\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}.
Montrer : {\exists\,h\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}.

Intégrale de exp(i x^2) de 0 à +∞

(Oral Mines-Ponts)
On pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-x^{2}(t^{2}-i)}}{t^{2}-i}dt}.
On rappelle que : {\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!e^{-t^2}\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}}
Trouver le domaine de définition de {f}.
Montrer que la restriction de {f} à {\mathbb{R}^+} est {\mathcal{C}^{1}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!e^{ix^{2}}dx} existe et la calculer.

Une transformation de Laplace

(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in \mathcal{C}^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{C})} nulle pour {|x|\gt A}.
Montrer que {F(x)=\displaystyle\int_{\infty }^{+\infty }\!\!\!\!f(t)e^{-itx}dt} est {C^{\infty }} sur {\mathbb{R}}.
Montrer que : {\forall\, n\in \mathbb{N},\;\exists\, C_{n}\in \mathbb{R}},
{\forall\, x>0},{\ |F(x)|\leq \dfrac{C_{n}}{x^{n}}}

Encore une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^x \ln(t)}{t-1}\,\text{d}t}.

  1. Déterminer le dommaine {D} de la fonction {I}.
  2. Montrer que {I} est {\mathcal C^1} sur {D}.
  3. Calculer pour {I(x+1)-I(x)} pour {x\in D}.
  4. Déterminer la limite de {I} en {+\infty}.
  5. Donner un équivalent de {I} en {-1} et en {+\infty}

Logarithme de la fonction Gamma

(Oral Mines-Ponts)
Donner le domaine de {\Gamma :x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!t^{x-1}e^{-t}\text{d}t}.
Équivalent de {f(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+1}\!\!\!\ln \Gamma (t)\,\text{d}t} en {+\infty}.
En déduire un équivalent de {\ln \Gamma(x)} en {+\infty }.

Primitives et limites comparées

(Mines-Ponts)
Soit {f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})} . Pour {x\in \mathbb{R}^{+}}, on pose : {F(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{x}\!\!f(t)\text{d}t\;\text{et}\;g(x)\!=\!f(x)\!+\!F(x)}On suppose que {f} a une limite finie en {+\infty }.
En est-il de même de {F}?
On suppose que {F} a une limite finie en {+\infty }.
En est-il de même de {f}?
On suppose que {g} a une limite finie en {+\infty }.
Déterminer la limite de {f} en {+\infty }.

Intégrale d’une fonction discrète

(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{n})} une suite strictement décroissante de limite {0}.
Pour {x>0}, soit {N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}.
Montrer que {N} est intégrable sur {]0,+\infty \lbrack } si
et seulement si la série {\displaystyle\sum a_{n}} converge.
Montrer qu’alors {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}

Une suite implicite paramétrée

(Oral Centrale 2018)
Soit {f_{n}(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{n}}\;\text{et}\;\Phi _{n}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f_{n}(t)\text{d}t}
Étudier la convergence de {(f_{n})}. Montrer :
{\forall\,\alpha >0,\;\exists\,!\;x_{n}(\alpha )\in\mathbb{R}^{+},\;\Phi _{n}(x_{n}(\alpha ))=\alpha}Étudier {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_{n}(\alpha)}.

Deux suites d’intégrales

(Oral Centrale 2018)
On pose {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{\,\text{d}t}{{t}^{n}+t^{2}+1}}.
De même, soit {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{n\,\text{d}t}{t^{n}+t^{2}+1}}.
Déterminer les limites de {(I_{n})} et {(J_{n})}.