QCM (intégration, partie 2)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 17 questions, une seule réponse est correcte) sur le thème « Intégration sur un intervalle quelconque ».
Intégration sur un intervalle quelconque
QCM (intégration, partie 1)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 17 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Intégration sur un intervalle quelconque ».
Développement d’intégrale à paramètre
(Oral Centrale) On étudie {F(t)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{f(x)}{1+tf(x)}\text{d}x}, où {f} est continue positive intégrable sur {\mathbb{R}^+}.
Intégrale de exp(-x^4)cos(xt)
(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre {f(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-x^4}\cos(xt)\,\text{d}x}
Intégrale de arctan(x tan(t))
(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan(t))\text{d}t}.
Équation différentielle du 2nd ordre
(Oral Centrale) Soit {q :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{-*}} continue strictement négative. On s’intéresse aux solutions sur {\mathbb{R}^{+}} de l’équation différentielle {\left( \mathcal{E}_{q}\right) :y''+q(x)y=0}.
Série de fonctions et intégrales
(Oral Centrale) On définit une suite de polynômes (de Hilbert), et la suite {a_n} de leurs intégrales sur {[0,1]}. Par des techniques d’intégration et de séries, on calcule un équivalent de {a_n}.
Série de fonctions et Fibonacci
(Oral Centrale) On étudie la somme de la série de fonctions {\sum x^n/(1-x^n)}. On termine par une expression de la série des {1/F_{2n}}, où {F} est la suite de Fibonacci.
Intégrale trigonométrique à paramètre
(Oral Mines-Ponts)
Un exercice très complet, pour calculer {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos (xt)}{1+t^{2}}\mathrm{d}t}.
Un exercice très complet, pour calculer {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos (xt)}{1+t^{2}}\mathrm{d}t}.
Intégrale et équation différentielle
(Oral Mines-Ponts)
On admet que {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}.
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}.
En déduire {I(x)}.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.
On admet que {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}.
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}.
En déduire {I(x)}.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.
Intégrale à paramètre et série
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f(x,t)=\dfrac{\sin (x t)}{\text{e}^{t}-1}} et {I(x)\!\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t}
Montrer que {I} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {I(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{k^{2}+x^{2}}}.
En déduire {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}I(x)}.
Soit {f(x,t)=\dfrac{\sin (x t)}{\text{e}^{t}-1}} et {I(x)\!\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t}
Montrer que {I} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {I(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{k^{2}+x^{2}}}.
En déduire {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}I(x)}.
Intégrales généralisées et séries
(Oral Mines-Ponts)
Trois exercices sur le thème « Intégrales généralisées et séries ».
Trois exercices sur le thème « Intégrales généralisées et séries ».
Calcul d’une intégrale complexe
(Oral Mines-Ponts)
Calculer {T(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{i t x}-1}{t} e^{-t}\,\text{d}t}.
Calculer {T(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{i t x}-1}{t} e^{-t}\,\text{d}t}.
Intégrale de t^(t^x)
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f_x(t)=t^{t^x}=\text{e}^{t^x\ln t}} et {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f_x(t) \,\text{d}t} .
Montrer que {F} est croissante et continue sur {\mathbb{R}},
Écrire {F(x)} comme somme de série si {x>0}.
Étudier la limite de {F} en {+\infty}.
Soit {f_x(t)=t^{t^x}=\text{e}^{t^x\ln t}} et {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f_x(t) \,\text{d}t} .
Montrer que {F} est croissante et continue sur {\mathbb{R}},
Écrire {F(x)} comme somme de série si {x>0}.
Étudier la limite de {F} en {+\infty}.
Intégrabilité d’une intégrale
(Oral Mines-Ponts)
Soit {a>1}. On pose {F(x)=\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \!\!\!\dfrac{\text{d}t}{\left(x^{2}+t^{2}\right)^{a}}}.
Montrer que {F} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer qu’elle vérifie une équation différentielle.
Montrer que {F} est intégrable sur {\mathbb{R}}.
Soit {a>1}. On pose {F(x)=\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \!\!\!\dfrac{\text{d}t}{\left(x^{2}+t^{2}\right)^{a}}}.
Montrer que {F} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer qu’elle vérifie une équation différentielle.
Montrer que {F} est intégrable sur {\mathbb{R}}.
Équivalents d’intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts)
On pose {F\colon x \rightarrow \dfrac{1}{x} \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{1-e^{-t x}}{1+t^{2}} \,\text{d}t} .
Montrer que {F} est {\mathcal{C}^{2}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Trouver un équivalent de {F} en {+\infty}, et en {0}.
On pose {F\colon x \rightarrow \dfrac{1}{x} \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{1-e^{-t x}}{1+t^{2}} \,\text{d}t} .
Montrer que {F} est {\mathcal{C}^{2}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Trouver un équivalent de {F} en {+\infty}, et en {0}.
Calcul d’une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts)
On pose {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\! \dfrac{\text{d}t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{x}\right)}}.
Montrer que {F} est définie sur {\mathbb{R}^{+}}.
Calculer {F(0)} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)}.
Calculer {F(x)} pour tout {x\gt0}.
On pose {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\! \dfrac{\text{d}t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{x}\right)}}.
Montrer que {F} est définie sur {\mathbb{R}^{+}}.
Calculer {F(0)} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)}.
Calculer {F(x)} pour tout {x\gt0}.
Une autre intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts)
Pour {x>1}, on pose : {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-x t} \dfrac{\,\text{sh} t}{t} \mathrm{d} t}.
Vérifier que {F} est définie.
Préciser {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)}. Calculer {F(x)}.
Pour {x>1}, on pose : {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-x t} \dfrac{\,\text{sh} t}{t} \mathrm{d} t}.
Vérifier que {F} est définie.
Préciser {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)}. Calculer {F(x)}.
Une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})}, et {g(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f(x t)\ln(t)\mathrm{d}t}.
Monter que {g\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})}. Préciser {g(0)} et {g'(0)}.
Soit {f\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})}, et {g(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f(x t)\ln(t)\mathrm{d}t}.
Monter que {g\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})}. Préciser {g(0)} et {g'(0)}.
Condition suffisante d’intégrabilité
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+*}} continue par morceaux.
On suppose que {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=\alpha\in [0,1[}.
Montrer que {f} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}
Soit {f :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+*}} continue par morceaux.
On suppose que {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=\alpha\in [0,1[}.
Montrer que {f} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}