Compléments d'algèbre linéaire

Compléments d’algèbre linéaire

Exercices du chapitre « Compléments d’algèbre linéaire »

Sommes directes de polynômes

On définit les trois sous-espaces de

{E=\mathbb{K}_3[X]}

{\begin{cases}F=\{P\in E, P(0)=P(1)=P(2)=0\}\\G=\{P\in E, P(1)=P(2)=P(3)=0\}\\H=\{P\in E, P(X)=P(-X)\}\end{cases}}

Caractériser

{F\oplus G}

et montrer

{E=F\oplus G\oplus H}

➡️

Supplémentaires isomorphes

Soit

F

un sous-espace d’un espace vectoriel

E

.
Montrer que les supplémentaires de

F

dans

E

sont isomorphes.

➡️

Caractérisation de somme directe

Soit

{A,B,C,D}

des sous-espaces vectoriels de

{E}

.
Montrer que

{A+B+C+D}

est directe si et seulement si :

{\begin{array}{l}(A\!+\!B)\cap(C\!+\!D)=(A\!+\!C)\cap(B\!+\!D)\\\quad=(A\!+\!D)\cap(B\!+\!C)=\{0\}\end{array}}

➡️

Une base de C_n[X]

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{(z_{j})_{0\leq j\leq n}}

des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille

{((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}}

est une base de

{\mathbb{C}_{n}[X]}

➡️

Déterminant et racines d’un polynôme

(Oral Ccp)
On calcule un déterminant d’ordre

n

dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme

{P_{n}=X^{n}-X+1}

➡️

Une récurrence linéaire d’ordre 3

(Oral Ccp)
Étude des suites de

\mathbb{C}^{\mathbb{N}}

telles que

\forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}

➡️

Indépendance de formes linéaires

(Oral Centrale)
Soit

{(f_{1},\ldots ,f_{p})}

des formes linéaires sur

{E}

, avec

\dim(E)=p

. Montrer

i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii)

i)

la famille

{(f_{1},\ldots,f_{p})}

est libre;

ii)

{\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))}

est surjective;

iii)

{\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}

{\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}

➡️

Un sous-espace de matrices

(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace

{E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}

➡️

Carré d’une matrice de rang ≤ 1

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, avec

{\text{rg}(A)\le 1}

.
Montrer que

{A^2=\text{tr}(A)A}

➡️

Base de formes linéaires

(Oral Ccp)
On pose

{f(x,y,z)=2x-y+z}

{g(x,y,z)= y-z}

{h(x,y,z)=-x +4y+2z}

. Montrer que

f,g,h

forment une base de

\mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R})

➡️

Une équation matricielle

(Oral Centrale)
Soient

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

{E_{A}=\{X\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),AXA=0\}}

.
Déterminer

{\dim (E_{A})}

en fonction du rang de

{A}

➡️

Vandermonde, le retour

(Oral École Navale)
Calculer

{\det(M)}

, où

{m_{i,j}=j(a_{i}^{j-2}+a_{i}^{j-1})}

{2\le j\le n}

, et

{m_{i1}=1}

➡️

Matrices par blocs et semblables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{N_{1}\in{\mathcal M}_{p_{1}}(\mathbb{K})}

{N_{2}\in{\mathcal M}_{p_{2}}(\mathbb{K})}

, nilpotentes.
Soit

{U_{1}\in\text{GL}_{q_{1}}(\mathbb{K})}

{U_{2}\in\text{GL}_{q_{2}}(\mathbb{K})}

.
On pose

{A=\begin{pmatrix}N_{1}&0\\ 0&U_{1}\end{pmatrix}}

{B=\begin{pmatrix}N_{2}&0\\ 0&U_{2}\end{pmatrix}}

.
Montrer que

{A\sim B\Leftrightarrow\begin{cases}p_{1}=p_{2}\\q_{1}=q_{2}\end{cases}}

{\begin{cases}N_{1}\sim N_{2}\\U_{1}\sim U_{2}\end{cases}}

➡️

Déterminant positif, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

{M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}

.
Montrer que

{\det(M)\ge 0}

➡️

Conditions impliquant det(x A + y B)=0

](Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

, avec

{\det(A)=\det(B)=\det(A\!+\!B)=\det(A\!-\!B)=0}

.
Calculer

{\det(xA+yB)}

pour tous réels

{x,y}

➡️

Projecteur p vérifiant u = pu – up ?

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u}

un endomorphisme d’un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

{E}

.
À quelle condition existe-t-il un projecteur

{p}

{E}

vérifiant

{u= pu-up\,}

➡️

Commutant d’un nilpotent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u \in{\mathcal L}(E)}

, avec

\dim(E)=n

. On suppose

{u^{n}=0}

{u^{n-1}\ne0}

. Déterminer les sous-espaces vectoriels de

{E}

stables par

{u}

. Déterminer

{\mathcal{C}(u)=\{f\in {\mathcal L}(E),\;fu=uf\}}

.
Quelle est sa dimension?

➡️

Un déterminant tridiagonal

(Oral Mines-Ponts)
On définit

{M_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

par

{m_{i,i}=\dfrac{a}{b}}

{m_{i,i+1}=a}

{m_{i+1,i}=\dfrac{1}{b}}

(et

{0}

sinon).
Calculer le déterminant

\Delta_n

{M_{n}}

➡️

Déterminant et Chebyshev

Soit

{M = (\cos(p\!-\!1)t_{q})_{1\le p,q\le n}}

. Calculer

{\det(M)}

➡️

Isomorphisme entre L(E) et E^n

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel de dimension

{n\in\mathbb{N}^{*}}

. Soit

{(e_{k})_{1\le k\le n}}

dans

{E}

.
Soit

{\varphi\colon{\mathcal L}(E)\rightarrow E^{n}}

défini par

{\varphi(u)=(u(e_{1}),\ldots,u(e_{n}))}

. Montrer que

{\varphi}

est linéaire, et que c’est un isomorphisme si et seulement si

{(e_{k})_{1\le k\le n}}

est une base de

{E}

➡️

Si AB=BA et B nilpotente, alors…

(Oral Centrale)
Soit

{A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

, avec

{B}

nilpotente et

{AB=BA}

. Montrer l’équivalence :
(

{A}

inversible)

{\Leftrightarrow}

(

{A+B}

inversible).

➡️

Un espace d’applications linéaires

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E,F}

deux

{\mathbb{C}}

-ev, où

{\dim(E)=n}

{\dim(F)=p}

, et

{f\in{\mathcal L}(E,F)}

. Préciser

{\dim(H)}

, où

{H=\{g\in{\mathcal L}(F,E),\;fgf=0\}}

➡️

Matrices réelles semblables dans Mn(ℂ)

(Oral Tpe)
Si deux matrices réelles

A,B

sont semblables dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

, elles le sont dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Matrices nilpotentes de même rang

(Oral Centrale)
Soient

{A,B\in {\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, de même rang, telles que

{A^k=B^k=0}

. Si

k=2

, montrer que

A,B

sont semblables. Et si

k=3

➡️

Recherche de sous-espaces stables

(Oral Ccp)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\R^3)}

canoniquement relié à

{\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}

Décrire les sous-espaces stables par

{u}

➡️

Caractérisation de tr(A)=0

(oral Centrale)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

. Montrer :

{\text{tr}(A)=0\Leftrightarrow \exists\, U,V\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;A=UV-VU}

➡️

Le commutant de GLn(ℂ)

(Oral Centrale)
Déterminer les matrices

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

telles que :

{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}

➡️

Trace de M → AMB

(Oral Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

.
Calculer la trace de

\Phi\colon M\mapsto AMB

➡️

Racine de matrice nilpotente

(Oral Ensam)
Existe-t-il

{B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})}

telle que

{B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}

➡️

Déterminant et coefficients binomiaux

(Oral Ensam)
Soit

{A\in {\mathcal M}_{p+1}(\mathbb{R})}

où

{a_{i,j} =\dbinom{m+i}{j}}

.
Calculer

{\det(A)}

➡️

Rang et inégalités

(Oral Ensam)
Soient

{E}

{F}

deux espaces vectoriels de dimension finie et

{f,g\in{\mathcal L}(E,F)}

. Montrer que

{|\text{rg}(f)-\text{rg}(g)|\le\text{rg}(f + g)\le\text{rg}(f) + \text{rg}(g)}

➡️

Moyenne de permutations

(Oral Centrale)
Soit

{(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})}

la base canonique de

{\mathbb{R}^{n}}

, et

S_n

l’ensemble des permutations de

[[1,n]]

.
Pour

{\sigma\in S_{n}}

soit

{f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}

définie par

{\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}

.
Identifier

{p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}

➡️

Sommes de projecteurs

(Oral X-Cachan)
Dans cet exercice, on établit l’équivalence de conditions pour qu’une matrice carrée

A

puisse s’écrire comme la somme de

k

matrices de projections

A_1,A_2,\ldots,A_k

vérifiant les égalités

A_iA_j=0

pour tous

i\ne j

➡️

Matrices par blocs

(Oral X-Cachan Psi)
Pour toute matrice

{P}

{{\mathcal M}_{p}(\mathbb{K})}

, on montre qu’il existe une matrice diagonale

{J}

, avec des coefficients

{\pm1}

sur sa diagonale, telle que

{\det (P+J)\ne 0}

➡️

Matrices bistochastiques, épisode 7

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5, Ep6.
Écrire une fonction Python traverse d’argument une matrice carrée

{A=(a_{i,j})}

et renvoyant (si elle existe) la première permutation

{\sigma}

(au sens lexicographique) telle que les

{a_{\sigma(j),j}}

soient non nuls.

➡️

Matrices bistochastiques, épisode 6

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5.
Soit

{A}

une matrice positive magique de somme

{\mu>0}

.
On sait que

{A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}}

, (avec

{\alpha_k>0}

{\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_k=\mu}

, les

{P_k}

matrices de permutations).
On montre ici que

{m}

peut être rendu inférieur ou égal à

{(n\!-\!1)^2\!+\!1}

➡️

Matrices bistochastiques, épisode 5

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4.
Soit

{A}

une matrice positive magique de somme

{\mu>0}

. L’objectif de cet article est de prouver que la matrice

A

peut s’écrire, au moins d’une manière, comme un barycentre (à coefficients strictement positifs) de matrices de permutation.

➡️

Matrices bistochastiques, épisode 4

On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
Pour

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, et pour

{\sigma\in\mathcal{S}_{n}}

, on note

{\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}

.
On dit que

{A}

est traversable s’il existe

{\sigma\in\mathcal{S}_{n}}

telle que

{\sigma(A)\ne0}

.
On montre ici que toute matrice magique de somme

{\mu>0}

(et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable

➡️

Matrices bistochastiques, épisode 3

On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On montre ici que tout élément extrémal de l’espace

{\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}

des matrices bistochastiques est une matrice de permutation

P_{\sigma}

➡️

Matrices bistochastiques, épisode 2

On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On étudie ici l’espace

\mathcal{B}_n(\mathbb{R})

des matrices bistochastiques. On montre que

{\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}

est compact et stable pour le produit, et convexe. On prouve aussi que les matrices de permutation sont extrémales dans

{\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Matrices bistochastiques, épisode 1

Soit

{A=(a_{i,j})_{0\le i,j\le n-1}}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

.
On dit que

A

est

{\mu}

–magique si la somme de chaque ligne et de chaque colonne vaut

{\mu}

.
On dit que

{A}

est bistochastique si

A

est

{1}

-magique et si les

{a_{i,j}}

sont positifs ou nuls.
On note

{\mathcal{B}_n(\mathbb{R})}

l’ensemble des matrices bistochastiques d’ordre

n

.
On note

{\mathcal{P}_n(\mathbb{R})\subset\,\mathcal{B}_n(\mathbb{R})}

l’ensemble des matrices de permutations

{P_{\sigma}}

d’ordre

n

.
On illustre ici ces notions avec Python.

➡️

Forme linéaire, matrices semblables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\varphi}

une forme linéaire sur

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

.
1. Montrer :

{\exists\,!\,\,A,\;\forall\, M,\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)}

2. On suppose :

{\forall M,\,\forall P \in \text{GL}_{n},\varphi(P^{-1}MP)=\varphi(M)}

\quad

Montrer :

{\exists\,\lambda\in\mathbb{C},\;\forall\, M,\;\varphi(M) = \lambda\,\text{tr}(M)}

➡️

Rang d’une matrice par blocs

Soit

{M=\begin{pmatrix}A &B\\C&D\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{A\in{\text{GL}}_{p}(\mathbb{R})}

.
Montrer que :

{\text{rg}(M)=p\Leftrightarrow D=CA^{-1}B.\quad}

➡️

Un déterminant et un polynôme

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}}

distincts.
Calculer :

{P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}

➡️

Polygônes réguliers

((Oral X-Cachan)
Soit

\omega=\text{e}^{2i\pi/n}

{W_{n}= (\omega^{r(s-1)})}

dans

{{\mathcal{M}}_{n-2,n}(\mathbb{C})}

.
1. Déterminer le rang de

{W_{n}}

.
2. Donner une base de

{\text{Ker}(W_{n})}

.
3. Caractériser les polygones réguliers à

{n}

sommets de sens direct.

➡️

Déterminant variable ?

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{n}

un entier positif pair, et soit

A

antisymétrique dans

{\mathcal M}_n(\mathbb{R})

. Soit

J

la matrice de

{\mathcal M}_n(\mathbb{R})

dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Étudier la fonction

{t\in\mathbb{R}\mapsto\det( A+tJ)}

➡️

Hyperplans et matrices inversibles

Soit

H

un hyperplan quelconque de

{{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

.
Montrer que

H

contient au moins une matrice inversible.

➡️

Matrice de projecteur

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})}

{B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}

.
On suppose que

{AB=\small\begin{pmatrix}0&-1&x\\-1&0&y\\-1&-1&z\end{pmatrix}}

.
Déterminer

{(x,y,z)}

pour que

{AB}

soit la matrice d’un projecteur.
Dans ce cas, déterminer

{BA}

➡️

Matrices de trace nulle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M}

dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

, avec

{n\ge1}

. On suppose

{\text{tr}(M)=0}

. Montrer que

{M}

est semblable à une matrice de coefficients diagonaux tous nuls.

➡️

Base de matrices de rang p

(Oral Centrale)
Soient

{n\in\,\mathbb{N}^*}

{p\in\{1,\ldots ,n\}}

. L’objectif de l’exercice est de montrer qu’il existe une base de

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

formée de matrices de rang

{p}

➡️